Straipsniai

2.4: Tiesinių lygčių sprendimas - II dalis


Mokymosi tikslai

  • Išspręskite bendras tiesines lygtis.
  • Nustatykite ir išspręskite sąlygines lygtis, tapatybes ir prieštaravimus.
  • Iš lygčių išvalykite dešimtainius skaičius ir trupmenas.
  • Išspręskite tam tikro kintamojo pažodines lygtis ar formules.

Panašių sąlygų derinimas ir supaprastinimas

Tiesinės lygtys paprastai nepateikiamos standartine forma, todėl jas išspręsti reikia papildomų žingsnių. Šie papildomi veiksmai apima abiejų lygybės ženklų pusių išraiškų supaprastinimą, naudojant operacijų tvarką.

„Vienos pusės“ sąlygos

Dažnai susidursime su tiesinėmis lygtimis, kur kiekvienos lygybės ženklo pusės išraiškas galima supaprastinti. Paprastai tai apima tos pačios pusės panašių terminų derinimą. Jei taip yra, tada prieš sprendžiant geriausia pirmiausia supaprastinti kiekvieną pusę.

Pavyzdys ( PageIndex {1} )

Išspręskite:

(- 4a + 2 − a = 3−2 ).

Sprendimas:

Pirmiausia sujunkite panašius terminus abiejose lygybės ženklo pusėse.

Atsakymas:

Sprendimas yra ( frac {1} {5} ).

Panašios sąlygos

Atsižvelgdami į linijinę lygtį, kurios forma yra (ax + b = cx + d ), mes pradedame derinti panašius terminus lygiojo ženklo priešingose ​​pusėse. Norėdami sujungti priešingos pusės panašius terminus, naudokite lygybės sudėties ar atimties savybę, kad galėtumėte efektyviai „perkelti terminus“ iš vienos pusės į kitą, kad juos būtų galima sujungti.

Pavyzdys ( PageIndex {2} )

Išspręskite:

(- 2y − 3 = 5y + 11 ).

Sprendimas:

Norėdami „perkelti“ terminą (5y ) į kairę pusę, atimkite jį iš abiejų pusių.

( pradėkite {lygiuoti} -2y-3 & = 5y + 11 -2y-3 spalva {Cerulean} {- 5y} ir = 5y + 11 color {Cerulean} {- 5y} ir color {Cerulean} {Atimkite : 5y : iš : abiejų : pusių.} -7y-3 & = 11 pabaiga {lygiuota} )

Iš čia išspręskite naudodami anksčiau sukurtus metodus.

Visada patikrinkite, ar sprendimas teisingas, pakeisdami sprendimą atgal į pradinę lygtį ir supaprastindami, kad gautumėte teisingą teiginį.

( begin {aligned} -2y-3 & = 5y + 11 -2 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) - 3} & = 5 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) + 1} 4-3 & = - 10 + 11 1 & = 1 quad color {Cerulean} { checkmark} end {aligned} )

Atsakymas:

Sprendimas yra (- 2 ).

Bendrosios tiesinių lygčių sprendimo gairės

Sprendžiant tiesines lygtis, siekiama nustatyti, kokia reikšmė, jei tokia bus, pateiks teisingą teiginį, kai ji bus pakeista pradine lygtimi. Atlikite tai išskirdami kintamąjį atlikdami šiuos veiksmus:

1 žingsnis: Supaprastinkite abi lygties puses naudodamiesi operacijų tvarka ir sujunkite visus tos pačios pusės panašius terminus.

2 žingsnis: Naudokite tinkamas lygybės savybes, kad sujungtumėte priešingos pusės terminus su kintamuoju terminu vienoje lygties pusėje ir pastoviuoju terminu kitoje.

3 žingsnis: Padalykite arba padauginkite, jei reikia, kad išskirtumėte kintamąjį.

4 žingsnis: Patikrinkite, ar atsakymas išsprendžia pradinę lygtį.

Pavyzdys ( PageIndex {3} )

Išspręskite:

(- frac {1} {2} (10y-2) + 3 = 14 )

Sprendimas:

Prieš spręsdami supaprastinkite tiesinę išraišką kairėje pusėje.

Patikrinti,

( begin {aligned} - frac {1} {2} (10 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) - 2) +3} & = 14 - frac { 1} {2} (- 20-2) + 3 & = 14 - frac {1} {2} (- 22) + 3 & = 14 11 + 3 & = 14 14 & = 14 quad color {Cerulean} { checkmark} end {aligned} )

Atsakymas:

Sprendimas yra (- 2 ).

Pavyzdys ( PageIndex {4} )

Išspręskite:

(5 (3x + 2) −2 = −2 (1−7x) ).

Sprendimas:

Pirmiausia supaprastinkite abiejų lygybės pusių išraiškas.

Atsakymas:

Sprendimas yra (- 10 ). Čekis paliekamas kaip pratimas.

Pratimai ( PageIndex {1} )

Išspręskite:

(6−3 (4x-1) = 4x-7 ).

Atsakymas

(x = 1 )

Sąlyginės lygtys, tapatybės ir prieštaravimai

Yra trys skirtingos lygčių rūšys. Iki šio taško mes sprendėme sąlygines lygtis. Tai yra lygtys, kurios tinka tam tikroms vertėms. Tapatybė yra lygtis, kuri tinka visoms galimoms kintamojo reikšmėms. Pavyzdžiui,

(x = x quad color {Cerulean} {tapatybė} )

turi sprendinių rinkinį, susidedantį iš visų realiųjų skaičių, (R ). Prieštaravimas yra lygtis, kuri niekada netiesa ir todėl neturi sprendimų. Pavyzdžiui,

(x + 1 = x quad color {Cerulean} {prieštaravimas} )

neturi sprendimo. Mes naudojame tuščią rinkinį (∅ ), nurodydami, kad sprendimų nėra.

Jei lygties sprendimo rezultatas yra teisingas teiginys, pvz., (0 = 0 ), tai lygtis yra tapatybė, o bet kuris tikrasis skaičius yra sprendimas. Jei sprendžiant gaunamas klaidingas teiginys, pvz., (0 = 1 ), tai lygtis yra prieštaravimas ir sprendimo nėra.

Pavyzdys ( PageIndex {5} )

Išspręskite:

(4 (x + 5) + 6 = 2 (2x + 3) ).

Sprendimas:

( begin {aligned} 4 (x + 5) + 6 & = 2 (2x + 3) & color {Cerulean} {Distribute.} 4x color {OliveGreen} {+ 20 + 6} & = 4x + 6 & spalva {Cerulean} {Derinti : tos pačios pusės : like : terms.} 4x + 26 & = 4x + 6 & color {Cerulean} {Combine : priešingos pusės : like : terms. } 4x + 26 color {Cerulean} {- 4x} & = 4x + 6 color {Cerulean} {- 4x} 26 & = 6 quad color {red} {x} & color {Cerulean} {False} end {aligned} )

Atsakymas:

(∅ ). Sprendimas veda į melagingą teiginį; todėl lygtis yra prieštaravimas ir sprendimo nėra.

Pavyzdys ( PageIndex {6} )

Išspręskite:

(3 (3y + 5) + 5 = 10 (y + 2) -y ).

Sprendimas:

( begin {aligned} 3 (3y + 5) + 5 & = 10 (y + 2) -y & color {Cerulean} {Distribute.} 9y color {OliveGreen} {+ 15 + 5} & = 10y + 20-y & color {Cerulean} {Combine : same-side : like : terms.} 9y + 20 & = 9y + 20 & color {Cerulean} {Derinti : priešinga pusė : kaip : terminai.} 9y + 20 color {Cerulean} {- 9y} & = 9y + 20 color {Cerulean} {- 9y} 20 & = 20 quad color {Cerulean} { checkmark} & spalva {Cerulean} {Tiesa} pabaiga {lygiuota} )

Atsakymas:

(R ). Sprendimas veda į teisingą teiginį; todėl lygtis yra tapatybė, o bet kuris tikrasis skaičius yra sprendimas.

Jei sunku patikėti, kad bet kuris tikrasis skaičius yra ankstesnio pavyzdžio lygties sprendimas, tada pasirinkite mėgstamiausią realųjį skaičių ir pakeiskite jį lygtyje, kad pamatytumėte, jog jis pateikia teisingą teiginį. Pasirinkite (x = 7 ) ir patikrinkite:

Pratimai ( PageIndex {2} )

Išspręskite:

(- 2 (3x + 1) - (x − 3) = - 7x + 1 ).

Atsakymas

(R )

Dešimtainių skaičių ir trupmenų išvalymas

Linijinių lygčių koeficientai gali būti bet koks realusis skaičius, netgi po kablelio ir trupmenos. Kai naudojami kableliai ir trupmenos, koeficientus išvalyti vienu žingsniu galima naudoti lygybės daugybos savybę. Jei pateikiami dešimtainiai koeficientai, tada padauginkite iš atitinkamos 10 galios, kad išvalytumėte dešimtainius skaičius. Jei pateikiami trupmeniniai koeficientai, tada padauginkite abi lygties puses iš mažiausiai bendro vardiklių daugiklio (LCD).

Pavyzdys ( PageIndex {7} )

Išspręskite:

(2,3x + 2,8 = -1,2x + 9,8 ).

Sprendimas:

Atkreipkite dėmesį, kad visi dešimtainiai koeficientai išreikšti skaitmenimis dešimtųjų vietoje; tai rodo, kad dešimtainius ženklus galime išvalyti padauginę abi puses iš (10 ​​). Nepamirškite paskirstyti (10 ​​) kiekvienam terminui abiejose lygties pusėse.

( begin {aligned} color {Cerulean} {10 cdot} color {black} {(2,3x + 2,8)} & = color {Cerulean} {10 cdot} color {black} {- 1,2 x + 9.8} ir spalva {Cerulean} {Padauginkite : abi : pusės : pagal : 10.} color {Cerulean} {10 cdot} color {juoda} {2.3x +} color { Cerulean} {10 cdot} color {black} {2.8} & = color {Cerulean} {10 cdot} color {black} {(- 1,2x) +} color {Cerulean} {10 cdot} color {black} {9.8} 23x + 28 & = - 12x + 98 & color {Cerulean} {Integer : koeficientai} 23x + 28 color {Cerulean} {+ 12x} & = - 12x + 98 color {Cerulean} {+ 12x} & color {Cerulean} {Solve.} 35x + 28 & = 98 35x + 28 color {Cerulean} {- 28} & = 98 color {Cerulean} {- 28} 35x & = 70 frac {35x} { color {Cerulean} {35}} & = frac {70} { color {Cerulean} {35}} x & = 2 end {lygiuota } )

Atsakymas:

Sprendimas yra (2 ).

Pavyzdys ( PageIndex {8} )

Išspręskite:

( frac {1} {3} x + frac {1} {5} = frac {1} {5} x − 1 ).

Sprendimas:

Išvalykite trupmenas, padauginę abi puses iš mažiausio nurodytų vardiklių daugiklio. Šiuo atveju LCM ((3, 5) = 15 ).

Atsakymas:

Sprendimas yra (- 9 ).

Svarbu žinoti, kad šie metodai tinka tik lygtims. Paprastindami išraiškas, nebandykite išvalyti trupmenų. Kaip priminėjas

( begin {masyvas} {c | c} { pabraukimas { color {Cerulean} {Išraiška}}} ir { pabraukimas { color {Cerulean} {Lygtis}}} { frac {1} { 2} x + frac {5} {3}} ir { frac {1} {2} x + frac {5} {3} = 0} end {array} )

Išspręskite lygtis ir supaprastinkite išraiškas. Padauginę išraišką iš (6 ), pakeisite problemą. Tačiau jei padauginsite abi lygties puses iš 6, gausite lygiavertę lygtį.

( begin {array} {c | c} { pabraukti { color {red} {Neteisinga}}} ir { pabraukti { color {Cerulean} {Correct}}} { frac {1} { 2} x + frac {5} {3}} ir { frac {1} {2} x + frac {5} {3} = 0} { neq color {red} {6 cdot} spalva {juoda} { kairė ( frac {1} {2} x + frac {5} {3} dešinė)}} ir { spalva {Cerulean} {6 cdot} spalva {juoda} { kairė ( frac {1} {2} x + frac {5} {3} right) =} spalva {Cerulean} {6 cdot} spalva {juoda} {0}} {= 3x + 10 quad color {red} {x}} ir {3x + 10 = 10 quad color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

Pažodinės lygtys (tiesinės formulės)

„Algebra“ leidžia mums išspręsti visas programų klases naudojant pažodines lygtis arba formules. Formulės dažnai turi daugiau nei vieną kintamąjį ir apibūdina arba modeliuoja konkrečią realaus pasaulio problemą. Pavyzdžiui, pažįstama formulė (D = rt ) apibūdina nuvažiuotą atstumą vidutiniu greičiu ir laiku; atsižvelgiant į bet kurį iš šių dviejų dydžių, galime nustatyti trečiąjį. Naudodami algebrą galime išspręsti bet kurio iš kintamųjų lygtį ir išvesti dar dvi formules.

( begin {aligned} D & = rt frac {D} { color {Cerulean} {r}} & = frac {rt} { color {Cerulean} {r}} & color {Cerulean} {Padalinti : abi : puses : pagal : r.} frac {D} {r} ir = t pabaiga {lygiuota} )

Jei padalinsime abi puses iš (r ), gausime formulę (t = Dr ). Naudokite šią formulę, norėdami rasti laiką, atsižvelgiant į atstumą ir greitį

( begin {aligned} D & = rt frac {D} { color {Cerulean} {t}} & = frac {rt} { color {Cerulean} {t}} & color {Cerulean} {Padalinti : abi : puses : pagal : t.} frac {D} {t} ir = r pabaiga {lygiuota} )

Jei padalinsime abi puses iš (t ), gausime formulę (r = Dt ). Naudokite šią formulę, norėdami rasti greitį, atsižvelgiant į nuvažiuotą atstumą ir laiką, kurio reikia norint nuvažiuoti tą atstumą. Naudodami iki šiol išmoktus metodus, dabar turime tris lygiavertes formules, susijusias su atstumu, vidutiniu greičiu ir laiku:

(D = rt qquad t = frac {D} {r} qquad r = frac {D} {t} )

Pateikus pažodinę lygtį, dažnai reikia išspręsti vieną iš kintamųjų kitų atžvilgiu. Norėdami išskirti nurodytą kintamąjį, naudokite lygybės savybes.

Pavyzdys ( PageIndex {9} )

Išspręskite (a ):

(P = 2a + b ).

Sprendimas:

Tikslas yra izoliuoti kintamąjį (a ).

( pradėkite {lygiuoti} P & = 2a + b P spalva {Cerulean} {- b} & = 2a + b color {Cerulean} {- b} & color {Cerulean} {Atimkite : b : iš : abiejų : pusių.} P-b & = 2a frac {Pb} { color {Cerulean} {2}} & = frac {2a} { color {Cerulean} {2} } ir spalva {Cerulean} {Padalyti : abi : pusės : pagal : 2.} frac {Pb} {2} ir = a pabaiga {lygiuota} )

Atsakymas:

(a = frac {P-b} {2} )

Pavyzdys ( PageIndex {10} )

Išspręskite (y ):

(z = frac {x + y} {2} ).

Sprendimas:

Tikslas yra izoliuoti kintamąjį (y ).

( begin {aligned} z & = frac {x + y} {2} color {Cerulean} {2 cdot} color {black} {z} & = color {Cerulean} {2 cdot } color {black} { frac {x + y} {2}} & color {Cerulean} {Padauginkite : abi : puses : pagal : 2.} 2z & = x + y 2z color {Cerulean} {- x} & = x + y color {Cerulean} {- x} & color {Cerulean} {Atimkite : x : iš : abiejų : pusių.} 2z-x & = y pabaiga {lygiuota} )

Atsakymas:

(y = 2z-x )

Pratimai ( PageIndex {3} )

Išspręskite (b ):

(2a −3b = c ).

Atsakymas

(b = frac {2a-c} {3} )

Pagrindiniai išsinešimai

  • Sprendžiant bendrąsias tiesines lygtis, reikia išskirti kintamąjį su koeficientu (1 ) vienoje lygybės ženklo pusėje.
  • Linijinių lygčių sprendimo žingsniai yra šie:
    • Supaprastinkite abi lygties puses ir sujunkite visus tos pačios pusės panašius terminus.
    • Derinkite priešingos pusės panašius terminus, kad gautumėte kintamąjį terminą vienoje lygybės ženklo pusėje, o pastoviąją - kitoje.
    • Padalinkite arba padauginkite, jei reikia, kad išskirtumėte kintamąjį.
    • Patikrinkite atsakymą.
  • Dauguma tiesinių lygčių, su kuriomis susidursite, yra sąlyginės ir turi vieną sprendimą.
  • Jei išsprendus tiesinę lygtį gaunamas tikras teiginys, pvz., (0 = 0 ), tai lygtis yra tapatybė, o sprendinių rinkinį sudaro visi realieji skaičiai (R ).
  • Jei išsprendus tiesinę lygtį gaunamas klaidingas teiginys, pvz., (0 = 5 ), tai lygtis yra prieštaravimas ir nėra sprendimo, (∅ ).
  • Išvalykite trupmenas, padauginę abi tiesinės lygties puses iš mažiausiai bendro visų vardiklių daugiklio. Paskirstykite ir padauginkite visus terminus iš skystųjų kristalų, kad gautumėte lygiavertę lygių su sveikaisiais koeficientais.
  • Pateikę formulę, išspręskite bet kurį kintamąjį naudodami tuos pačius metodus tiesinėms lygtims spręsti. Tai veikia, nes kintamieji yra tiesiog realiųjų skaičių atvaizdavimas.

Pratimas ( PageIndex {4} ) Tikrinant sprendimus

Ar pateikta reikšmė yra tiesinės lygties sprendimas?

  1. (2 (3x + 5) −6 = 3x − 8; x = −4 )
  2. (- x + 17−8x = 9 − x; x = −1 )
  3. (4 (3x-7) −3 (x + 2) = - 1; x = frac {1} {3} )
  4. (- 5−2 (x − 5) = - (x + 3); x = −8 )
  5. (7−2 ( frac {1} {2} x − 6) = x − 1; x = 10 )
  6. (3x− frac {2} {3} (9x-2) = 0; x = frac {4} {9} )
Atsakymas

1. Taip

3. Ne

5. Taip

Pratimas ( PageIndex {5} ) Tiesinių lygčių sprendimas

Išspręskite.

  1. (4x-7 = 7x + 5 )
  2. (- 5x + 3 = −8x − 9 )
  3. (3x-5 = 2x-17 )
  4. (- 2y − 52 = 3y + 13 )
  5. (- 4x + 2 = 7x-20 )
  6. (4x-3 = 6x-15 )
  7. (9x-25 = 12x-25 )
  8. (12y + 15 = -6y + 23 )
  9. (1,2x-0,7 = 3x + 4,7 )
  10. (2,1x + 6,1 = -1,3x + 4,4 )
  11. (2,02x + 4,8 = 14,782-1,2x )
  12. (- 3,6x + 5,5 + 8,2x = 6,5 + 4,6x )
  13. ( frac {1} {2} x− frac {2} {3} = x + frac {1} {5} )
  14. ( frac {1} {3} x− frac {1} {2} = - frac {1} {4} x− frac {1} {3} )
  15. (- frac {1} {10} y + frac {2} {5} = frac {1} {5} y + frac {3} {10} )
  16. (x− frac {20} {3} = frac {5} {2} x + frac {5} {6} )
  17. ( frac {2} {3} y + frac {1} {2} = frac {5} {8} y + frac {37} {24} )
  18. ( frac {1} {3} + frac {4} {3} x = frac {10} {7} x + frac {1} {3} - frac {2} {21} x )
  19. ( frac {8} {9} - frac {11} {18} x = frac {7} {6} −12x )
  20. ( frac {1} {3} −9x = frac {4} {9} + frac {1} {2} x )
  21. (12x-5 + 9x = 44 )
  22. (10−6x − 13 = 12 )
  23. (- 2 + 4x + 9 = 7x + 8−2x )
  24. (20x −5 + 12x = 6 − x + 7 )
  25. (3a + 5-a = 2a + 7 )
  26. (- 7b + 3 = 2−5b + 1−2b )
  27. (7x-2 + 3x = 4 + 2x-2 )
  28. (- 3x + 8−4x + 2 = 10 )
  29. (6x + 2−3x = −2x − 13 )
  30. (3x-0,75 + 0,21x = 1,24x + 7,13 )
  31. (- x − 2 + 4x = 5 + 3x − 7 )
  32. (- 2y − 5 = 8y − 6−10y )
  33. ( frac {1} {10} x− frac {1} {3} = frac {1} {30} - frac {1} {15} x− frac {7} {15} )
  34. ( frac {5} {8} - frac {4} {3} x + frac {1} {3} = - frac {3} {9} x− frac {1} {4} + {1} {3} x )
Atsakymas

1. (−4)

3. (−12)

5. (2)

7. (0)

9. (−3)

11. (3.1)

13. (- frac {26} {15} )

15. ( frac {1} {3} )

17. (25)

19. (- frac {5} {2} )

21. ( frac {7} {3} )

23. (−1)

25. (∅)

27. ( frac {1} {2} )

29. (−3)

31. (R )

33. (- frac {3} {5} )

Pratimas ( PageIndex {6} ) Linijinių lygčių, susijusių su skliaustais, sprendimas

Išspręskite.

  1. (- 5 (2y − 3) + 2 = 12 )
  2. (3 (5x + 4) + 5x = −8 )
  3. (4−2 (x − 5) = - 2 )
  4. (10–5 (3x + 1) = 5 (x − 4) )
  5. (9− (x + 7) = 2 (x − 1) )
  6. (- 5 (2x-1) + 3 = -12 )
  7. (3x − 2 (x + 1) = x + 5 )
  8. (5x-3 (2x-1) = 2 (x-3) )
  9. (- 6 (x − 1) −3x = 3 (x + 8) )
  10. (- frac {3} {5} (5x + 10) = frac {1} {2} (4x-12) )
  11. (3,1 (2x-3) + 0,5 = 22,2 )
  12. (4,22−3,13 (x − 1) = 5,2 (2x + 1) −11,38 )
  13. (6 (x − 2) - (7x − 12) = 14 )
  14. (- 9 (x − 3) −3x = −3 (4x + 9) )
  15. (3−2 (x + 4) = - 3 (4x-5) )
  16. (12−2 (2x + 1) = 4 (x − 1) )
  17. (3 (x + 5) −2 (2x + 3) = 7x + 9 )
  18. (3 (2x − 1) −4 (3x − 2) = - 5x + 10 )
  19. (- 3 (2a − 3) + 2 = 3 (a + 7) )
  20. (- 2 (5x-3) −1 = 5 (−2x + 1) )
  21. ( frac {1} {2} (2x + 1) - frac {1} {4} (8x + 2) = 3 (x-4) )
  22. (- frac {2} {3} (6x-3) - frac {1} {2} = frac {3} {2} (4x + 1) )
  23. ( frac {1} {2} (3x-1) + frac {1} {3} (2x-5) = 0 )
  24. ( frac {1} {3} (x − 2) + frac {1} {5} = frac {1} {9} (3x + 3) )
  25. (- 2 (2x-7) - (x + 3) = 6 (x-1) )
  26. (10 ​​(3x + 5) −5 (4x + 2) = 2 (5x + 20) )
  27. (2 (x − 3) −6 (2x + 1) = - 5 (2x − 4) )
  28. (5 (x − 2) - (4x − 1) = - 2 (3 − x) )
  29. (6 (3x − 2) - (12x − 1) + 4 = 0 )
  30. (- 3 (4x − 2) - (9x + 3) −6x = 0 )
Atsakymas

1. ( frac {1} {2} )

3. (8)

5. ( frac {4} {3} )

7. (∅)

9. (- frac {3} {2} )

11. (5)

13. (−14)

15. (2)

17. (0)

19. (- frac {10} {9} )

21. (3)

23. (1)

25. ( frac {17} {11} )

27. (∅)

29. ( frac {7} {6} )

Pratimas ( PageIndex {7} ) pažodinės lygtys

Išspręskite nurodytą kintamąjį.

  1. Išspręskite (w ): (A = l⋅w ).
  2. Išspręskite (a ): (F = ma ).
  3. Išspręskite (w ): (P = 2l + 2w ).
  4. Išspręskite (r ): (C = 2πr ).
  5. Išspręskite (b ): (P = a + b + c ).
  6. Išspręskite (C ): (F = frac {9} {5} C + 32 ).
  7. Išspręskite (h ): (A = frac {1} {2} bh ).
  8. Išspręskite (t ): (I = Prt ).
  9. Išspręskite (y ): (ax + by = c ).
  10. Išspręskite (h ): (S = 2πr ^ {2} + 2πrh ).
  11. Išspręskite (x ): (z = frac {2x + y} {5} ).
  12. Išspręskite (c ): (a = 3b− frac {2c} {3} ).
  13. Išspręskite (b ): (y = mx + b ).
  14. Išspręskite (m ): (y = mx + b ).
  15. Išspręskite (y ): (3x − 2y = 6 ).
  16. Išspręskite (y ): (- 5x + 2y = 12 ).
  17. Išspręskite (y ): ( frac {x} {3} - frac {y} {5} = 1 ).
  18. Išspręskite (y ): ( frac {3} {4} x− frac {1} {5} y = frac {1} {2} ).
Atsakymas

1. (w = frac {A} {l} )

3. (w = frac {P-2l} {2} )

5. (b = P-a-c )

7. (h = frac {2A} {b} )

9. (y = frac {−axx + c} {b} )

11. (x = frac {5z-y} {2} )

13. (b = y-mx )

15. (y = frac {3x − 6} {2} )

17. (y = frac {5x-15} {3} )

Pratimas ( PageIndex {8} ) pažodinės lygtys

Išverskite šiuos sakinius į tiesines lygtis ir tada išspręskite.

  1. (3x ) ir (5 ) suma lygi (2x ) ir (7 ) sumai.
  2. (- 5x ) ir (6 ) suma lygi (4x ) ir (2 ) skirtumui.
  3. (5x ) ir (25 ) skirtumas yra lygus (3x ) ir (51 ) skirtumui.
  4. ( Frac {1} {2} x ) ir ( frac {3} {4} ) suma lygi ( frac {2} {3} x ).
  5. Skaičius (n ), padalytas iš (5 ), yra lygus dvigubo skaičiaus ir (3 ) sumai.
  6. Neigiamas dešimtis kartų skaičius (n ) yra lygus trijų kartų skaičiaus ir (13 ) sumai.
Atsakymas

1. (3x + 5 = 2x + 7 ); (x = 2 )

3. (5x-25 = 3x-51 ); (x = −13 )

5. ( frac {n} {5} = 2n + 3 ); (n = - frac {5} {3} )

Pratimai ( PageIndex {9} ) Diskusijų lentos temos

  1. Kokia yra žodžio algebra kilmė?
  2. Kas laikoma pagrindine algebros veikla?
  3. Kodėl lygčių sprendimas yra tokia svarbi algebros tema?
  4. Paskelbkite keletą realių linijinių formulių, nepateiktų šiame skyriuje.
  5. Tyrinėkite ir aptarkite Aleksandrijos Diophanto indėlį.
  6. Susikurkite savo tapatybę ar prieštaravimą ir pasidalykite diskusijų lentoje. Pateikite sprendimą ir paaiškinkite, kaip jį radote.
Atsakymas

1. Atsakymai gali skirtis

3. Atsakymai gali skirtis

5. Atsakymai gali skirtis


2.4: Tiesinių lygčių sprendimas - II dalis

Pradėsime šio skyriaus sprendimo dalį spręsdami tiesines lygtis. A tiesinė lygtis yra bet kuri lygtis, kurią galima parašyti forma

kur (a ) ir (b ) yra tikrieji skaičiai, o (x ) yra kintamasis. Ši forma kartais vadinama Standartinė forma tiesinės lygties. Atkreipkite dėmesį, kad dauguma linijinių lygčių neprasidės šia forma. Be to, kintamasis gali būti arba ne (x ), todėl neužsibūkite visada matydami ten (x ).

Norėdami išspręsti tiesines lygtis, gausiai panaudosime šiuos faktus.

    Jei (a = b ), tada (a + c = b + c ) bet kuriam (c ). Visa tai sako, kad prie abiejų lygties pusių galime pridėti skaičių (c ) ir nekeisti lygties.

Šie faktai yra beveik visų sprendimo būdų, kuriuos mes nagrinėsime šiame skyriuje, pagrindas, todėl labai svarbu, kad juos žinotumėte ir nepamirštumėte. Vienas iš būdų galvoti apie šias taisykles yra toks. Tai, ką darome vienoje lygties pusėje, turime padaryti kitoje lygties pusėje. Jei tai prisiminsite, visada pateisinsite šiuos faktus.

Šiame skyriuje mes spręsime tiesines lygtis ir yra gražus paprastas procesas, kaip išspręsti linijines lygtis. Pirmiausia apibendrinkime procesą ir tada pateiksime keletą pavyzdžių.

Tiesinių lygčių sprendimo procesas

  1. Jei lygtyje yra trupmenos, trupmenoms išvalyti naudokite mažiausiai bendrąjį vardiklį. Tai padarysime padauginę abi lygties puses iš LCD.

Be to, jei trupmenų vardikliuose yra kintamųjų, nustatykite kintamojo reikšmes, kurios suteiks padalijimą iš nulio, nes mes turėsime vengti šių verčių savo sprendime.

Atkreipkite dėmesį, kad mes paprastai tiesiog padalijame abi lygties puses iš koeficiento, jei jis yra sveikasis skaičius, arba padauginame abi lygties puses iš koeficiento abipusio, jei tai yra trupmena.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

  1. (3 liko ( dešinė) = 2 kairė (<- 6 - x> dešinė) - 2x )
  2. ( displaystyle frac <> <3> + 1 = frac <<2m>> <7> )
  3. ( displaystyle frac <5> << 2y - 6 >> = frac << 10 - y >> <<- 6 m. + 9 >> )
  4. ( displaystyle frac <<2z>> <> = frac <3> <> + 2)

Dėl šios problemos nėra trupmenų, todėl mums nereikia jaudintis dėl pirmojo proceso žingsnio. Kitas žingsnis nurodo supaprastinti abi puses. Taigi, išvalysime skliaustus daugindami skaičius ir sujungdami panašius terminus.

[ prasideda3 liko ( dešinė) & = 2 kairė (<- 6 - x> dešinė) - 2x 3x + 15 & = - 12 - 2x - 2x 3x + 15 & = - 12 - 4x end]

Kitas žingsnis - gauti visus (x ) ženklus vienoje pusėje ir visus skaičius kitoje pusėje. Kurioje pusėje eisite (x ), priklauso tik nuo jūsų ir tikriausiai tai priklausys nuo problemos. Pagal nykščio taisyklę kintamuosius paprastai padėsime toje pusėje, kuri duos teigiamą koeficientą. Tai daroma paprasčiausiai todėl, kad dažnai lengva pamesti minuso koeficiento ženklą ir todėl, jei įsitikinsime, kad jis teigiamas, nereikės dėl to jaudintis.

Taigi, mūsų atveju tai reikš 4 (x ) pridėjimą prie abiejų pusių ir 15 atėmimą iš abiejų pusių. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad nors šias operacijas iš tikrųjų atliksime per šį laiką, mes paprastai darome šias operacijas savo galvoje.

Kitame žingsnyje sakoma, kad prieš (x ) gausite koeficientą 1. Šiuo atveju tai galime padaryti padaliję abi puses iš 7.

Dabar, jei atlikome visą savo darbą teisingai (x = - frac <<27>> <7> ), yra lygties sprendimas.

Paskutinis ir paskutinis žingsnis - tada patikrinti sprendimą. Kaip pažymėta proceso metmenyse, turime patikrinti sprendimą originalus lygtis. Tai svarbu, nes mes galime padaryti klaidą jau pirmame žingsnyje, ir jei mes padarėme klaidą ir tada patikrinome atsakymą to žingsnio rezultatuose, tai gali rodyti, kad sprendimas yra teisingas, kai realybė bus tokia, kokios mes neturime neturime teisingo atsakymo dėl klaidos, kurią padarėme iš pradžių.

Žinoma, problema yra ta, kad naudojant šį sprendimą tikrinimas gali būti šiek tiek nepatogus. Darom vis tiek.

Taigi, mes atlikome savo darbą teisingai ir lygties sprendimas yra

Atminkite, kad čia nenaudojome sprendimų rinkinio žymėjimo. Siekdami pavienių sprendimų, retai tai darysime šioje klasėje. Tačiau, jei mes būtume norėję sprendimo, tai būtų šios problemos žymėjimas,

Prieš tęsdami kitą problemą, pirmiausia pakomentuokime šio atsakymo „netvarką“. NESitikėkite, kad visi atsakymai bus gražūs paprastieji skaičiai. Nors mes stengiamės, kad dauguma atsakymų būtų paprasti, dažnai taip nebus, NEGALIMA taip užsisklęsti mintyje, kad atsakymas turi būti paprastas sveikasis skaičius, kurį iškart manote, kad suklydote dėl „netvarkos“. atsakymas.

Gerai, su šia problema mes nepadėsime tiek daug paaiškinti.

Šiuo atveju turime trupmenas, todėl, kad palengvintume savo gyvenimą, abi puses padauginsime iš skystųjų kristalų ekrano, kuris šiuo atveju yra 21. Tai padarius, problema bus labai panaši į ankstesnę. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad vardikliai yra tik skaičiai, todėl mums nereikės jaudintis dėl padalijimo nuliu.

Pirmiausia padauginkime abi puses iš LCD.

[ prasideda21 kairė (< frac <> <3> + 1> dešinė) & = kairė (> <7>> dešinė) 21 21 kairė (< frac <> <3>> dešinė) + 21 kairė (1 dešinė) & = kairė (> <7>> dešinė) 21 7 kairė ( dešinė) + 21 & = kairė (<2m> dešinė) kairė (3 dešinė) pabaiga]

Būkite atsargūs, kad teisingai paskirstytumėte 21 per skliaustus kairėje pusėje. Prieš supaprastindami viską, kas yra skliaustuose, reikia padauginti iš 21. Šiuo metu turime problemą, panašią į ankstesnę, ir šį kartą mes nesivarginsime visais paaiškinimais.

[ prasideda7 liko ( dešinė) + 21 & = kairė (<2m> dešinė) kairė (3 dešinė) 7m - 14 + 21 & = 6m 7m + 7 & = 6m m & = - 7 pabaiga]

Taigi, atrodo, kad (m = - 7 ) yra sprendimas. Patikrinkime, ar tikrai.

[ prasideda frac << - 7 - 2 >> <3> + 1 & mathop = ribos ^? frac << 2 kairė (<- 7> dešinė) >> <7> frac << - 9 >> <3> + 1 & mathop = limitai ^? - frac <<14>> <7> - 3 + 1 & mathop = ribos ^? - 2 - 2 & = - 2 hspace <0,5in> < mbox> pabaiga]

Šis yra panašus į ankstesnį, išskyrus tai, kad dabar vardiklyje turime kintamuosius. Taigi, norėdami gauti LCD, pirmiausia turėsime visiškai suskirstyti kiekvienos racionalios išraiškos vardiklius.

Taigi, atrodo, kad LCD yra (2 < kairėje ( dešinė) ^ 2> ). Taip pat atkreipkite dėmesį, kad mums reikės vengti (y = 3 ), nes jei mes prijungsime tai prie lygties, gautume nulį.

Dabar, už vardiklio (y ) ’ribų, ši problema veikia identiškai kaip ir ankstesnė, todėl atlikime darbą.

Dabar sprendimas nėra (y = 3 ), taigi mes negausime padalijimo iš nulio su sprendimu, kuris yra geras dalykas. Galiausiai atlikime greitą patikrinimą.

Tokiu atveju atrodo, kad skystųjų kristalų ekranas yra ( kairysis ( dešinė Kairė( teisingai) ), taip pat atrodo, kad mums reikės vengti (z = - 3 ) ir (z = 10 ), kad įsitikintume, jog negausime padalijimo iš nulio.

Pradėkime nuo šios problemos.

[ prasideda kairė ( dešinė Kairė( dešinė) kairė (< frac <<2z>> <>> dešinėn) & = kairėn (< frac <3> <> + 2> dešinėn) kairėn ( dešinė Kairė( dešinė) 2z kairė ( dešinėje) ir = 3 kairėje ( dešinė) + 2 kairė ( dešinė Kairė( dešinė) 2 - liko 20z & = 3z + 9 + 2 (<- 7z - 30> dešinėje) pabaiga]

Šiuo metu stabtelėkime ir pripažinkime, kad turime z 2 darbe čia. Nesijaudinkite dėl to. Kartais tai laikinai atsiras šiose problemose. Dėl to turėtumėte nerimauti tik tada, kai jis bus atliktas, kai baigsime supaprastinimo darbus.

Taigi, baigkime problemą.

Atkreipkite dėmesį, kad z 2 iš tikrųjų atšaukė. Dabar, jei atlikome savo darbą teisingai, (z = frac <<17>> <3> ) turėtų būti sprendimas, nes ne viena iš dviejų reikšmių duos nulį. Patikrinkime tai.

Tikrinimas kartais gali būti šiek tiek netvarkingas, tačiau tai reiškia, kad mes ŽINOMA, jog sprendimas yra teisingas.

Gerai, paskutinėse poroje ankstesnio pavyzdžio dalių mes nuolat stebėjome, ar nėra problemų pagal nulį, tačiau niekada negavome sprendimo ten, kur tai buvo problema. Taigi, dabar turėtume padaryti keletą tų problemų, kad pamatytume, kaip jie veikia.

Pirmiausia reikia suskirstyti vardiklius į LCD.

Taigi, LCD yra ( kairėje ( dešinė Kairė( teisingai) ) ir mums reikės vengti (x = - 2 ) ir (x = - 3 ), todėl negausime padalijimo iš nulio.

Čia yra šios problemos sprendimas.

[ prasideda kairė ( dešinė Kairė( dešinė) kairė (< frac <2> <>> dešinė) & = kairė (< frac << - x >> << kairė ( dešinė Kairė( dešinė) >>> dešinė) kairė ( dešinė Kairė( dešinė) 2 kairė ( dešinė) & = - x 2x + 6 & = - x 3x & = - 6 x & = - 2 pabaiga]

Taigi, mes gauname „sprendimą“, kuris yra skaičių sąraše, kurio turime vengti, kad negautume padalijimo iš nulio ir negalėtume jo naudoti kaip sprendimo. Tačiau tai taip pat yra vienintelis galimas sprendimas. Nieko tokio. Tai tiesiog reiškia, kad ši lygtis turi jokio sprendimo.

Šios lygties skystųjų kristalų ekranas yra (x + 1 ), todėl mums reikės vengti (x = - 1 ), todėl negausime padalijimo iš nulio. Štai šios lygties darbas.

[ prasideda kairė (< frac <2> <>> dešinėn) kairėn ( dešinė) & = kairė (<4 - frac <<2x>> <>> dešinėn) kairėn ( dešinė) 2 & = 4 kairė ( dešinė) - 2x 2 & = 4x + 4 - 2x 2 & = 2x + 4 - 2 & = 2x - 1 & = x end]

Taigi, mes vėl pasiekiame vieną reikšmę (x ), kurios mums reikėjo vengti, kad negavome dalijimo iš nulio. Todėl ši lygtis turi jokio sprendimo.

Taigi, kaip matėme, turime būti atsargūs dalydamiesi nuliu, kai pradedame nuo lygčių, kuriose yra racionalių išraiškų.

Šiuo metu turėtume taip pat pripažinti, kad jei neturime jokio padalijimo iš nulio klausimų (pvz., Paskutiniame pavyzdžių rinkinyje), linijinės lygtys turės tiksliai vieną sprendimą. Niekada negausime daugiau nei vieno sprendimo ir vienintelis laikas, kai negausime jokių sprendimų, yra tai, kad susidūrę su nuliniu „sprendimo“ problemos padalijimu.

Prieš palikdami šį skyrių, turėtume atkreipti dėmesį į tai, kad daugelis linijinių lygčių sprendimo būdų pasirodys ne kartą, kai apimsime įvairias lygtis, todėl labai svarbu suprasti šį procesą.


2.4: Tiesinių lygčių sprendimas - II dalis

Pirmasis ypatingas pirmosios eilės diferencialinių lygčių atvejis, kurį mes apžvelgsime, yra tiesinė pirmosios eilės diferencialinė lygtis. Šiuo atveju, skirtingai nei dauguma pirmosios eilės atvejų, kuriuos nagrinėsime, iš tikrųjų galime išvesti bendro sprendimo formulę. Toliau pateikiamas bendras sprendimas. Tačiau mes siūlytume nepamiršti pačios formulės. Užuot įsiminę formulę, turėtumėte įsiminti ir suprasti procesą, kurį naudosiu formulei gauti. Daugumą problemų iš tikrųjų lengviau naudoti naudojant procesą, o ne naudojant formulę.

Taigi, pažiūrėkime, kaip išspręsti tiesinę pirmosios eilės diferencialinę lygtį. Atminkite, kad eidami per šį procesą, turime pasiekti sprendimą, kuris yra formos (y = y left (t right) ). Kartais lengva pamesti tikslą, kai pirmą kartą išgyvename šį procesą.

Norint išspręsti tiesinę pirmosios eilės diferencialinę lygtį, PRIVALOTI pradėti nuo diferencialinės lygties, kaip parodyta žemiau. Jei diferencialinė lygtis nėra tokia forma, procesas, kurį naudosime, neveiks.

Kur tiek (p (t) ), tiek (g (t) ) yra nepertraukiamos funkcijos. Prisiminkime, kad greitas ir nešvarus nenutrūkstamos funkcijos apibrėžimas yra tai, kad funkcija bus tęstinė, jei grafiką galite piešti iš kairės į dešinę, niekada nepakeldami pieštuko / rašiklio. Kitaip tariant, funkcija yra tęstinė, jei joje nėra skylių ar lūžių.

Dabar manysime, kad kažkur pasaulyje yra kažkokia stebuklinga funkcija, ( mu left (t right) ), vadinama integruojantis veiksnys. Šiuo metu nesijaudinkite, kokia yra ši funkcija arba iš kur ji atsirado. Kas bus ( mu kairė (t dešinė) ), išsiaiškinsime, kai turėsime rankoje bendrojo sprendimo formulę.

Taigi, kai mes padarėme prielaidą, kad egzistuoja ( mu kairė (t dešinė) ), viską padauginkite iš ( eqref) parašė ( mu kairė (t dešinė) ). Tai duos.

[ prasideda mu kairė (t dešinė) frac <><

> + mu kairė (t dešinė) p kairė (t dešinė) y = mu kairė (t dešinė) g kairė (t dešinė) etiketė galas]

Dabar čia pasireiškia ( mu left (t right) ) magija. Mes manysime, kad kad ir koks būtų ( mu kairysis (t dešinysis) ), jis patenkins šiuos dalykus.

[ prasideda mu kairė (t dešinė) p kairė (t dešinė) = mu 'kairė (t dešinė) etiketė galas]

Vėlgi nesijaudinkite, kaip galime rasti ( mu kairę (t dešinę) ), kuri patenkins ( eqref). Kaip pamatysime, su sąlyga, kad (p (t) ) yra nepertraukiamas, galime jį rasti. Taigi pakeičiant ( eqref) mes dabar atvykstame.

[ prasideda mu kairė (t dešinė) frac <><

> + mu ' kairė (t dešinė) y = mu kairė (t dešinė) g kairė (t dešinė) etiketė galas]

Šiuo metu turime pripažinti, kad kairė ( eqref) yra ne kas kita, kaip ši produkto taisyklė.

Taigi galime pakeisti kairę ( eqref) su šia produkto taisykle. Tai padarius ( eqref) tampa

Dabar prisiminkime, kad sekame (y (t) ). Dabar mes galime kažką padaryti. Viskas, ką mums reikia padaryti, tai integruoti abi puses, tada naudoti šiek tiek algebros ir mes turėsime sprendimą. Taigi, integruokite abi ( eqref) gauti.

Atkreipkite dėmesį, kad integracijos konstanta (c ) iš kairės pusės įtraukta į integraciją. Nepaprastai svarbu, kad tai būtų įtraukta. Jei jo nenurodysite, kiekvieną kartą gausite neteisingą atsakymą.

Paskutinis žingsnis yra tam tikra algebra, kurią reikia išspręsti sprendimui, (y (t) ).

Žvelgiant iš žymėjimo taško, mes žinome, kad integracijos konstanta, (c ), yra nežinoma konstanta, todėl, norėdami palengvinti savo gyvenimą, mes absorbuosime priešais esantį minuso ženklą į konstantą ir naudosime pliusą. Tai neturės įtakos galutiniam atsakymui į sprendimą. Taigi su šiuo pakeitimu mes turime.

Vėlgi, pakeitus ženklą ant konstantos, mūsų atsakymas neturės įtakos. Jei nuspręsite palikti minuso ženklą, gausite tą pačią (c ) reikšmę kaip ir mes, išskyrus tai, kad jis turės priešingą ženklą. Prijungę (c ) gausime lygiai tą patį atsakymą.

Šiame skyriuje daug žaidžiama greitai ir laisvai su integracijos konstantomis, todėl turėsite prie to priprasti. Tai darydami, mes visada stengsimės labai aiškiai pasakyti, kas vyksta, ir bandyti pagrįsti, kodėl mes padarėme tai, ką padarėme.

Taigi, dabar, kai turime bendrą sprendimą ( eqref) turime grįžti atgal ir nustatyti, kokia yra ši magiška funkcija ( mu left (t right) ). Tai iš tikrųjų yra lengvesnis procesas, nei jūs manote. Pradėsime nuo ( eqref).

[ mu kairė (t dešinė) p kairė (t dešinė) = mu 'kairė (t dešinė) ]

Padalinkite abi puses iš ( mu kairės (t dešinės) ),

Tikimės, kad kairę šios pusės pusę iš savo „Calculus I“ klasės atpažinsite tik kaip šį darinį.

Kaip ir visų pirma, turime padaryti tai, kad gautume abi puses.

Pastebėsite, kad nuolatinė integracija iš kairės pusės (k ) buvo perkelta į dešinę pusę ir vėl į ją įsisavino minuso ženklą, kaip tai darėme anksčiau. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad čia naudojame (k ), nes jau naudojome (c ) ir po truputį abu turėsime toje pačioje lygtyje. Taigi, norėdami išvengti painiavos, mes vartojome skirtingas raides, kad parodytume, jog jų vertė, greičiausiai, bus skirtinga.

Išskirkite abi puses, kad gautumėte ( mu kairę (t dešinę) ) iš natūralaus logaritmo.

Dabar atėjo laikas vėl žaisti greitai ir laisvai su konstantomis. Nepatogu turėti rodiklyje (k ), todėl mes jį pašalinsime iš rodiklio tokiu būdu.

Dabar pasinaudokime faktu, kad (k ) yra nežinoma konstanta. Jei (k ) yra nežinoma konstanta, tai yra ir (<< bf> ^ k> ), todėl mes taip pat galime tiesiog jį pervadinti (k ) ir palengvinti savo gyvenimą. Tai suteiks mums tai.

Taigi, dabar mes turime bendro sprendimo formulę ( eqref) ir integravimo veiksnio formulė ( eqref). Vis dėlto turime problemų. Mes turime dvi nežinomas konstantas ir kuo daugiau nežinomų konstantų turėsime, tuo daugiau problemų turėsime vėliau. Todėl būtų malonu, jei rastume būdą, kaip pašalinti vieną iš jų (negalėsime pašalinti abiejų ...).

Tai iš tikrųjų yra gana lengva padaryti. Pirmiausia pakeiskite ( eqref) į ( eqref) ir pertvarkyti konstantas.

Taigi, ( eqref) gali būti parašyta taip, kad vienintelė vieta, kur rodomos dvi nežinomos konstantos, yra šių dviejų santykis. Taigi, kadangi ir (c ), ir (k ) yra nežinomos konstantos, tai yra ir dviejų konstantų santykis. Todėl mes tiesiog paskambinsime santykiu (c ) ir tada išleisime (k ) iš ( eqref), nes galiausiai jis tiesiog įsigers į (c ).

Tuomet yra tiesinės pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas

Dabar realybė yra tokia, kad ( eqref) nėra toks naudingas, kaip gali atrodyti. Dažnai paprasčiau atlikti procesą, kuris paskatino mus pasiekti ( eqref), o ne naudoti formulę. Šios formulės nenaudosime nė viename iš savo pavyzdžių. Turėsime naudoti ( eqref) reguliariai, nes ta formulė yra lengviau naudojama nei procesas jai gauti.

Sprendimo procesas

Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimo procesas yra toks.

    Diferencialinę lygtį įveskite teisinga pradine forma ( eqref).

Pateikime keletą pavyzdžių. Pradėkime nuo diferencialinės lygties, kurią mes gavome atgal „Krypties lauko“ skyriuje, sprendimo.

Pirma, mes turime gauti diferencialinę lygtį teisinga forma.

Iš to galime pamatyti, kad (p (t) = 0,196 ) ir taip yra ((mu kairė (t dešinė) ).

Atkreipkite dėmesį, kad oficialiai integracijos rodiklyje turėtų būti nuolatinė integracija. Tačiau mes galime tai atsisakyti dėl tos pačios priežasties, kurią mes atsisakėme (k ) iš ( eqref).

Dabar padauginkite visus diferencialinės lygties terminus iš integravimo koeficiento ir šiek tiek supaprastinkite.

Integruokite abi puses ir nepamirškite integracijos konstantų, kurios atsiras dėl abiejų integralų.

Gerai. Atėjo laikas vėl žaisti su konstantomis. Norėdami gauti, iš abiejų pusių galime atimti (k ).

Tiek (c ), tiek (k ) yra nežinomos konstantos, taigi skirtumas taip pat yra nežinoma konstanta. Todėl skirtumą parašysime kaip (c ). Taigi, mes dabar turime

Nuo šio momento integracijos abiejų pusių integraciją atliksime tik tada, kai integruosime abi puses, žinodami, kad jei būtume užrašę po vieną kiekvienam integralui, kaip turėtų, abu galų gale įsigilins į vienas kitą.

Paskutinis sprendimo proceso žingsnis yra padalinti abi puses iš (<< bf> ^ <0,196t >> ) arba padauginti abi puses iš (<< bf> ^ <- 0,196t >> ). Bet kuris veiks, bet mes dažniausiai renkamės daugybos kelią. Tai padarius, gaunamas bendras diferencialinės lygties sprendimas.

Iš šio pavyzdžio sprendimo dabar galime suprasti, kodėl integracijos pastovumas yra toks svarbus šiame procese. Be jo, šiuo atveju gautume vieną pastovų sprendimą (v (t) = 50 ). Su nuolatine integracija gauname be galo daug sprendimų, po vieną kiekvienai (c ) vertei.

Grįžę į krypties lauko skyrių, kuriame pirmą kartą išvedėme paskutiniame pavyzdyje naudotą diferencialinę lygtį, mes naudojome krypties lauką, kad padėtų mums parengti kai kuriuos sprendimus. Pažiūrėkime, ar mes juos teisingai supratome. Norėdami nupiešti keletą sprendimų, viską, ką turime padaryti, yra pasirinkti skirtingas (c ) reikšmes, kad gautume sprendimą. Keletas iš jų parodyti toliau pateiktame grafike.

Taigi, panašu, kad mes gana gerai nubraižėme grafikus krypties lauko skyriuje.

Dabar iš skyriaus „Apibrėžimai“ prisiminkite, kad pradinė (-ios) sąlyga (-os) leis nuliui naudoti tam tikrą sprendimą. Pirmos eilės diferencialinių lygčių (ne tik tiesinių, kaip matysime) sprendiniuose bus viena nežinoma konstanta, todėl mums reikės tiksliai vienos pradinės sąlygos, kad rastume tos konstantos vertę ir taip rastume sprendimą, kurio siekėme. Pirmosios eilės diferencialinių lygčių pradinė sąlyga bus formos

Taip pat primename, kad diferencialinė lygtis kartu su pakankamu skaičiumi pradinių sąlygų vadinama pradinės vertės problema (IVP).

Norėdami rasti IVP sprendimą, pirmiausia turime rasti bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir tada naudoti pradinę sąlygą, kad nustatytume tikslų sprendimą, kurio mes siekiame. Taigi, kadangi tai yra ta pati diferencialinė lygtis, į kurią žiūrėjome 1 pavyzdyje, mes jau turime jo bendrą sprendimą.

Dabar, norėdami rasti sprendimą, kurio turime, turime nustatyti (c ) vertę, kuri suteiks mums sprendimą. Norėdami tai padaryti, mes tiesiog prijungiame pradinę sąlygą, kuri suteiks mums lygtį, kurią galime išspręsti (c ). Taigi, padarykime tai

[48 = v kairė (0 dešinė) = 50 + c hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> c = - 2 ]

Taigi, tikrasis IVP sprendimas yra.

Šio sprendimo grafiką galima pamatyti aukščiau esančiame paveikslėlyje.

Padarykime keletą pavyzdžių, kurie yra šiek tiek labiau įtraukti.

Perrašykite diferencialinę lygtį, kad gautumėte darinio a koeficientą.

Dabar raskite integravimo veiksnį.

Ar galite padaryti integralą? Jei ne, perrašykite liestinę atgal į sinusus ir kosinusus, tada naudokite paprastą pakaitalą. Atkreipkite dėmesį, kad dėl (x ) apribojimų mes galime atsisakyti absoliučios vertės juostų antrojoje. Tiesą sakant, tai yra (x ) ribų priežastis. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad yra dvi šio integralo atsakymo formos. Jie yra lygiaverčiai, kaip parodyta žemiau. Kurį jūs naudojate, iš tikrųjų yra pirmenybės klausimas.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad mes pasinaudojome tokiu faktu.

Tai yra svarbus faktas, kurį visada turėtumėte prisiminti dėl šių problemų. Mes visais atvejais norėsime kiek įmanoma supaprastinti integravimo veiksnį ir šis faktas padės tą supaprastinti.

Dabar grįžkime prie pavyzdžio. Padauginkite integravimo koeficientą per diferencialinę lygtį ir patikrinkite, ar kairė pusė yra produkto taisyklė. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad integravimo koeficientą padauginame iš perrašytos diferencialinės lygties, o NE originalios diferencialinės lygties. Įsitikinkite, kad tai padarėte. Padauginę integravimo koeficientą iš pradinės diferencialinės lygties, gausite neteisingą sprendimą!

[ prasideda sec kairė (x dešinė) y '+ sec kairė (x dešinė) tan kairė (x dešinė) y & = 2 sec kairė (x dešinė) < cos ^ 2> kairė (x dešinė) sin kairė (x dešinė) - < sec ^ 2> kairė (x dešinė) < kairė (< sec kairė (x dešinė) y> dešinė) ^ prime> & = 2 cos left (x right) sin left (x right) - < sec ^ 2> left (x right) end]

Atkreipkite dėmesį į trigerio formulės ( sin left (<2 theta> right) = 2 sin theta cos theta ) naudojimą, kuris palengvino integralą. Tada išspręskite sprendimą.

Galiausiai pritaikykite pradinę sąlygą, kad rastumėte (c ) reikšmę.

[y left (x right) = - frac <1> <2> cos left (x right) cos left (<2x> right) - sin left (x right) + 7 cos kairė (x dešinė) ]

Žemiau yra sprendimo schema.

[t , y '+ 2y = - t + 1 hspace <0,25in> y kairė (1 dešinė) = frac <1> <2> ]

Pirmiausia padalykite iš t, kad diferencialinė lygtis būtų teisinga.

Dabar gausime integravimo koeficientą ( mu kairę (t dešinę) ).

Dabar turime supaprastinti ( mu left (t right) ). Tačiau negalime naudoti ( eqref), tačiau tam reikalingas koeficientas vienas priešais logaritmą. Taigi, prisimink tai

ir perrašykite integravimo veiksnį tokia forma, kuri leistų mums jį supaprastinti.

Mes čia galėjome atsisakyti absoliučios vertės juostų, nes mes kvadratą brūkšnojome (t ), tačiau dažnai jų negalima numesti, todėl būkite atsargūs su jais ir nemeskite jų, nebent žinote, kad galite. Dažnai absoliučios vertės juostos turi likti.

Dabar padauginkite perrašytą diferencialinę lygtį (atminkite, kad čia negalime naudoti pradinės diferencialinės lygties ...) iš integravimo koeficiento.

Integruokite abi puses ir išspręskite sprendimą.

Galiausiai pritaikykite pradinę sąlygą, kad gautumėte (c ) reikšmę.

[ frac <1> <2> = y kairė (1 dešinė) = frac <1> <4> - frac <1> <3> + frac <1> <2> + c hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , c = frac <1> <<12>> ]

Čia yra sprendimo siužetas.

Pirmiausia padalykite iš (t ), kad diferencialinė lygtis būtų teisinga.

Dabar, kai tai padarėme, galime rasti integravimo koeficientą ( mu left (t right) ).

Nepamirškite, kad „-“ yra (p (t) ) dalis. Pamiršus šį minuso ženklą, gali būti labai lengva padaryti problemą ir paversti tai labai sunkia, o gal net neįmanoma problema, todėl būkite atsargūs!

Dabar mes tiesiog turime tai supaprastinti, kaip tai darėme ankstesniame pavyzdyje.

Vėlgi, mes galime atsisakyti absoliučios vertės juostų, nes mes keturkampį terminą.

Dabar padauginkite diferencialinę lygtį iš integravimo koeficiento (vėl įsitikinkite, kad tai perrašyta, o ne originali diferencialinė lygtis).

Integruokite abi puses ir išspręskite sprendimą.

[ prasideda> y kairė (t dešinė) & = int << sin kairė (<2t> dešinė) , dt >> + int << - 1 + 4t , dt >> > y kairė (t dešinė) & = - frac <1> <2> cos kairė (<2t> dešinė) + frac <1> <2> t sin kairė (<2t> dešinė) + frac <1> <4> cos kairė (<2t> dešinėje) - t + 2 + c y kairė (t dešinė) & = - frac <1> <2> cos kairė (<2t> dešinė) + frac <1> <2> sin kairė (<2t> dešinė) + frac <1> <4> cos kairė (<2t> dešinė) - + 2 + cgalas]

Taikykite pradinę sąlygą, kad rastumėte (c ) reikšmę.

Žemiau yra sprendimo schema.

Pateikime vieną paskutinį pavyzdį, kuriame daugiau dėmesio skiriama sprendimo aiškinimui, o ne sprendimo paieškai.

Pirmiausia padalykite iš 2, kad diferencialinė lygtis būtų teisinga.

[y '- frac <1> <2> y = 2 sin kairė (<3t> dešinė) ]

Padauginkite ( mu left (t right) ) per diferencialinę lygtį ir perrašykite kairę pusę kaip produkto taisyklę.

Integruokite abi puses (dešinė pusė reikalauja integracijos dalimis - ar galite tai padaryti teisingai?) Ir išspręskite sprendimą.

Taikydami pradinę sąlygą raskite (c ) reikšmę ir atkreipkite dėmesį, kad joje bus (y_ <0> ), nes neturime tam vertės.

Dabar, kai turime sprendimą, pažvelkime į ilgalaikį elgesį (t.y. (t to infty )) sprendimo. Pirmieji du sprendimo terminai liks baigtiniai visoms (t ) reikšmėms. Tai paskutinis terminas, kuris nulems sprendimo elgesį. Eksponentas visada eis į begalybę kaip (t į infty ), tačiau, priklausomai nuo koeficiento (c ) ženklo (taip, mes jį jau radome, bet kad būtų lengviau šią diskusiją, mes tęsime pavadinti (c )). Šioje lentelėje pateikiamas ilgalaikis sprendimo būdas visoms (c ) reikšmėms.

(C ) diapazonas Sprendimo elgsena kaip (t iki infty )
(c ) & lt 0 (y kairė (t dešinė) to - infty )
(c ) = 0 (y kairė (t dešinė) ) lieka baigtinis
(c ) & gt 0 (y kairė (t dešinė) iki infty )

Šis elgesys taip pat matomas toliau pateiktame kelių sprendimų grafike.

Kadangi mes žinome, kaip (c ) siejasi su (y_ <0> ), mes galime susieti sprendimo elgseną su (y_ <0> ). Šioje lentelėje pateikiamas sprendimo elgesys, nurodant (y_ <0> ), o ne (c ).

Atkreipkite dėmesį, kad = - frac <<24>> <<37>> ) sprendimas išliks baigtinis. Tai ne visada atsitiks.

Tirti ilgalaikį sprendimų elgesį kartais yra svarbiau nei pats sprendimas. Tarkime, kad aukščiau pateiktas tirpalas nurodė temperatūrą metalo juostose. Šiuo atveju norėtume sprendimo (-ų), kuris (-iai) išliktų ribotas ilgainiui. Atlikdami šį tyrimą, dabar turėsime pradinės sąlygos vertę, kuri suteiks mums tą sprendimą, o dar svarbiau - pradinės sąlygos vertes, kurių mums reikėtų vengti, kad neišlydytume juostos.


1.2.2. Krypties laukai

* Žr. Klevo failo „Krypties laukai“

Sprendžiant ODE, yra daug būdų juos braižyti. Šiame skyriuje mes sužinosime, kaip naudoti tris diagramos komandas DEtools pakete, kad nubrėžtumėte sprendimus ODE. „Dfieldplot“ komanda nupiešia nurodytos funkcijos krypties / nuolydžio lauką. Bendroji komandos sintaksė yra tokia:

& gt su (DEtools):
& gt dfieldplot (diferencialinė lygtis, nepriklausomas kintamasis, x diapazonas, y diapazonas)

Norėdami išreikšti diferencialinę lygtį, pavyzdžiui, y funkciją x atžvilgiu, turite įvesti „diff (y (x), x)“. Kai kuriose pamokose tai gali būti išreikšta kaip „D (y) (x)“, tačiau paprastumo dėlei naudosime pirmąją išraišką.
Išbandykite šiuos veiksmus:

Įvestis turėtų generuoti pirmiau nurodytą krypties lauką. Deja, jūs turite nubrėžti diferencialines lygtis naudodami „dfieldplot“. Todėl geriausia išspręsti tam tikrą diferencialinę lygtį, kad ji būtų aiškiai išreikšta, jei ji pateikiama netiesiogiai.


Tiesinių lygčių, kuriose yra trupmenos, sprendimas

Tiesinių lygčių, turinčių kintamuosius abiejose pusėse, sprendimas

Tiesinių lygčių su skliaustais sprendimas

Bendroji tiesinės lygties sprendimo tvarka: p. 152

1. Jei yra trupmenų, padauginkite abi lygčių puses iš visų trupmenų LCD.
2. Supaprastinkite kiekvieną lygties pusę.
3. Norėdami gauti visus terminus su kintamuoju vienoje pusėje ir visus pastovius, naudokite sudėjimą ir atimimą
kitoje lygties pusėje. Tada supaprastinkite kiekvieną lygties pusę.
4. Padalykite abi lygties puses iš kintamojo koeficiento.
5. Patikrinkite savo sprendimą pirminėje lygtyje.

Šios problemos turi tiksliai vieną sprendimą.

Šios problemos neturi sprendimo

Šios problemos turi kiekvieną kintamojo vertę kaip sprendimą. Jie vadinami tapatybė.

Apžvalga: Kai išspręsite tiesinę lygtį, jei supaprastinta lygtis yra:

Klaidingas teiginys, pvz., 8 = 1, lygtis neturi sprendimo.
Tikras teiginys, pvz., 12 = 12, lygtis yra tapatybė.
Bet kuri kintamojo reikšmė yra sprendimas.
Tikras teiginys, pvz., X = 4, yra tik vienas sprendimas.


Šis OCW papildomas šaltinis teikia medžiagą ne iš oficialios MIT programos.

„MIT OpenCourseWare“ yra nemokamas ir atviras tūkstančių MIT kursų medžiagos leidinys, apimantis visą MIT programą.

Nėra registracijos ar registracijos. Laisvai naršykite ir naudokite OCW medžiagas savo tempu. Nėra registracijos ir pradžios ar pabaigos datos.

Žinios yra tavo atlygis. Naudokite OCW, kad galėtumėte mokytis visą gyvenimą arba mokyti kitus. Mes nesiūlome kreditų ar pažymėjimų, kad naudojatės OCW.

Sukurtas dalytis. Atsisiųskite failus vėliau. Siųsti draugams ir kolegoms. Keisti, perdaryti ir pakartotinai naudoti (tiesiog nepamirškite nurodyti šaltinio OCW.)


Elementariosios diferencialinės lygtys

Biuras: ACD 114A
Telefonas: (860) 405-9294
Darbo laikas: pagal pareikalavimą
Atvirų durų politika. Kviečiame užsukti į bet kurį kurso aspektą bet kuriuo metu tomis dienomis, kai esu miestelyje - antradieniais, ketvirtadieniais ir penktadieniais.

MATH 2410 apima medžiagą iš vadovėlio skyrių. Temos apima pirmos ir antros eilės lygtis, sistemas, Laplaso transformacijas.


Klasės susitikimo laikas / vieta: antradienis, ketvirtadienis 2:00 - 15:15. ACD klasė 206.

Dėl „Corona Virus“ protrūkio visos pamokos po pavasario atostogų vyks internetu įprastu klasės laiku, TuTh 2: 00-15: 15 val.

Kursų vadovėlis yra Denniso G. Zillo 11-asis leidimas „Pirmasis diferencialinių lygčių su modeliavimo programomis kursas“.

„Math 2410“ namų darbai paskiriami kiekvienos klasės pabaigoje ir renkami kiekvieną ketvirtadienį. Bendras namų darbų įvertinimų svoris yra 150 taškų iš visų 500 kurso taškų.

Egzamino tvarkaraštis: 1 egzaminas: vasario 21 d., Ketvirtadienis, 14.00–15.15, kambarys: ACD 206
2 egzaminas: kovo 28 d., Ketvirtadienis, 14.00–15.15 val., Kambarys: ACD 206
Baigiamasis egzaminas: gegužės 1 d., Antradienis, 13.00–15.00 val., Kambarys: ACD 206

Vertinimo politika: namų darbai: 150, egzaminas 1: 100, egzaminas 2: 100, baigiamasis egzaminas: 150.



Data Skyrius Tema Namų darbai
1 savaitė Antradienis 1/21 1.1 Apibrėžimai ir terminologija Ch. 1.1

Thur. 1/23 1.2
1.3
Pradinės vertės problemos
Diferencialinės lygtys kaip matematiniai modeliai
Ch. 1.2
Ch. 1.3





2 savaitė Antradienis 1/28 2.1 Sprendimo kreivės be sprendimo (krypties laukai / autonominis). Ch. 2.1

Thur. 1/30 2.2 Faziniai portretai. Atskiriamos lygtys Ch. 2.2





3 savaitė Antradienis 2/4 2.3 Tiesinės lygtys Ch. 2.3

Thur. 2/6 2.4 Tikslios lygtys. Ch. 2.4





4 savaitė Antradienis 2/11 2.5 Sprendimai pakeitimais. Ch. 2.5

Thur. 2/13 2.6 Eulerio metodas. Ch. 2.6





5 savaitė Antradienis 2/18
Apžvalga.
1 praktikos egzaminas
Praktikos egzaminas 1. Sprendimai


Thur. 2/20
1 egzaminas





6 savaitė Antradienis 2/25 3.1 Linijiniai modeliai. Ch. 3.1

Thur. 2/27 3.2, 3.3 Linijiniai modeliai. Modeliavimas 1 eilės lygčių sistemomis. Ch. 3.2, 3.3





7 savaitė Antradienis 3/3 8.1 Linijiniai modeliai. Ch. 8.1

Thur. 3/5 8.2 Vienarūšės tiesinės sistemos. Ch. 8.2





8 savaitė Antradienis 3/10 8.2 Vienarūšės tiesinės sistemos. Pasikartojančios savinės vertės. Ch. 8.2

Thur. 3/12 8.2 Vienarūšės tiesinės sistemos. Kompleksinės savinės vertės. Ch. 8.2





9 savaitė Antradienis 3/17
Pavasario įdubimas

Thur. 3/19
Pavasario įdubimas





10 savaitė Antradienis 3/24 8.3 Nehomogeninės tiesinės sistemos. Ch. 8.3

Thur. 3/26 8.3 Nehomogeninės tiesinės sistemos. 8.3





11 savaitė Antradienis 3/31
Apžvalga.
2 praktikos egzaminas
Praktikos egzaminas 2. Sprendimai

Thur. 4/2
2 egzaminas





12 savaitė Antradienis 4/7 4.1 Egzamino peržiūra. Tiesinės lygtys, 1 dalis.

Thur. 4/9 4.1 Tiesinės lygtys. 2 dalis. Ch. 4.1





13 savaitė Antradienis 4/14 4.2, 4.3 Redukcijos tvarka. Vienarūšės tiesinės lygtys su pastoviais koeficientais. Ch. 4.1

Thur. 4/16 4.4 Nenustatyti koeficientai. Superpozicijos metodas. Ch. 4.1





14 savaitė Antradienis 4/21 7.1 Laplaso transformacija Ch. 4.3

Thur. 4/23 7.2 Atvirkštinės ir išvestinių priemonių transformacijos. Ch. 4.4





15 savaitė Antradienis 4/28 7.3 Veikimo savybės 1. Ch. 7.1
Thur. 4/30 7.4 Veikimo savybės 2. Ch. 7.2





16 savaitė Antradienis 5/5
Baigiamasis egzaminas, 13.00–15.00 val.
Praktikos baigiamasis egzaminas
Praktikos baigiamasis egzaminas. Sprendimai

Šį puslapį prižiūri Dmitrijus Leykekhmanas
Paskutinį kartą pakeista: 2020-04-28


Selina Glausta matematikos 8 klasė ICSE sprendimai 14 skyrius Tiesinės lygtys viename kintamajame

Leidėjai „Selina“ glausta matematikos 8 klasė ICSE sprendimai 14 skyrius Tiesinės lygtys viename kintamajame (su problemomis, pagrįstomis tiesinėmis lygtimis)

Linijinės lygtys viename kintamame pratime 14A & # 8211 Selina Glausta matematikos 8 klasės ICSE sprendimai

Išspręskite šias lygtis:
Klausimas 1.
20 = 6 + 2x
Sprendimas:

2 klausimas.
15 + x = 5x + 3
Sprendimas:

3 klausimas.
= -7
Sprendimas:

4 klausimas.
3a & # 8211 4 = 2 (4 & # 8211 a)
Sprendimas:

5 klausimas.
3 (b & # 8211 4) = 2 (4 & # 8211 b)
Sprendimas:

Sprendimas:

Sprendimas:

8 klausimas.
5 (8x + 3) = 9 (4x + 7)
Sprendimas:

9 klausimas.
3 (x + 1) = 12 + 4 (x & # 8211 1)
Sprendimas:

Sprendimas:

Sprendimas:

Sprendimas:

Sprendimas:

Sprendimas:

Sprendimas:

16 klausimas.
6 (6x & # 8211 5) & # 8211 5 (7x & # 8211 8) = 12 (4 & # 8211 x) + 1
Sprendimas:

17 klausimas.
(x & # 8211 5) (x + 3) = (x & # 8211 7) (x + 4)
Sprendimas:

18 klausimas.
(x & # 8211 5) 2 & # 8211 (x + 2) 2 = -2
Sprendimas:

19 klausimas.
(x & # 8211 1) (x + 6) & # 8211 (x & # 8211 2) (x & # 8211 3) = 3
Sprendimas:

Sprendimas:

Sprendimas:

Sprendimas:

Sprendimas:

24 klausimas.
Išspręskite:
Taigi raskite „a“ reikšmę, jei + 5x = 8.
Sprendimas:

25 klausimas.
Išspręskite:
Taigi raskite & # 8216p & # 8217 vertę, jei 2p & # 8211 2x + 1 = 0
Sprendimas:

26 klausimas.
Išspręskite:
Sprendimas:

27 klausimas.
Išspręskite:
Sprendimas:

Linijinės lygtys viename kintamame pratime 14B & # 8211 Selina Glausta matematikos 8 klasės ICSE sprendimai

Klausimas 1.
Penkiolika mažiau nei 4 kartus skaičius yra 9. Raskite skaičių.
Sprendimas:

2 klausimas.
Jei Meghos amžius padidėja tris kartus, jos rezultatas yra 60 metų. Raskite jos amžių
Sprendimas:

3 klausimas.
28 yra 12 mažiau nei 4 kartus didesnis už skaičių. Raskite numerį.
Sprendimas:

4 klausimas.
Penkis mažiau nei 3 kartus skaičius yra -20. Raskite numerį.
Sprendimas:

5 klausimas.
Penkiolika daugiau nei 3 kartus Neetu amžiaus yra tas pats, kas 4 kartus didesnė už jos amžių. Kiek jai metų?
Sprendimas:

6 klausimas.
Skaičius, sumažintas 30, yra tas pats, kaip 14, sumažintas 3 kartus skaičiumi Raskite skaičių.
Sprendimas:

7 klausimas.
A atlyginimas yra toks pat kaip 4 kartus didesnis už B atlyginimą. Jei kartu jie uždirba 3750 Rs per mėnesį, raskite kiekvieno atlyginimą.
Sprendimas:

8 klausimas.
Atskirkite 178 į dvi dalis taip, kad pirmoji dalis būtų 8 mažiau nei dvigubai antroji dalis.
Sprendimas:

9 klausimas.
Šeši daugiau nei ketvirtadalis skaičiaus yra du penktadaliai skaičiaus. Raskite numerį.
Sprendimas:

10 klausimas.
Stačiakampio ilgis yra dvigubai didesnis už jo plotį. Jei jo perimetras yra 54 cm, suraskite jo ilgį.
Sprendimas:

11 klausimas.
Stačiakampio ilgis yra 5 cm mažesnis nei dvigubai didesnis už jo plotį. Jei ilgis sumažėja 5 cm, o plotis padidinamas 2 cm, gauto stačiakampio perimetras bus 74 cm. Raskite pirminio stačiakampio ilgį ir plotį.
Sprendimas:

12 klausimas.
Trijų iš eilės einančių nelyginių skaičių suma yra 57. Raskite skaičius.
Sprendimas:

13 klausimas.
Žmogaus amžius yra tris kartus didesnis nei jo sūnaus, o po dvylikos metų jis bus dvigubai vyresnis nei jo sūnus. Koks jų dabartinis amžius.
Sprendimas:

14 klausimas.
Vyrui yra 42 metai, o sūnui - 12 metų. Per kiek metų sūnaus amžius tuo metu bus pusė vyresnio amžiaus?
Sprendimas:

15 klausimas.
136 km kelionę vyras įveikė per 8 valandas. Kai kuri kelionės dalis buvo įveikta 15 km / val., O likusi dalis - 18 km / val. Raskite kelionės dalį, įveikiamą 18 km / val.
Sprendimas:

16 klausimas.
Dviejų skaičių skirtumas yra 3, o jų kvadratų skirtumas yra 69. Raskite skaičius.
Sprendimas:

17 klausimas.
Du iš eilės einantys natūralieji skaičiai yra tokie, kad ketvirtadalis mažesnių viršija penktadalį didesnių už 1. Raskite skaičius.
Sprendimas:

18 klausimas.
Trys sveiki skaičiai iš eilės yra tokie, kad padalijus juos iš 5, 3 ir 4, dalinių suma yra 40. Raskite skaičius.
Sprendimas:

19 klausimas.
Jei prie skaičių 5, 11, 15 ir 31 pridedamas tas pats skaičius, gaunami skaičiai yra proporcingi. Raskite numerį.
Sprendimas:

20 klausimas.
Dabartinis vyro amžius yra dvigubai didesnis nei jo sūnaus. Taigi aštuonerius metus jų amžius bus santykiu 7: 4. Raskite dabartinį amžių.
Sprendimas:

Linijinės lygtys viename kintamame pratime 14C & # 8211 Selina Glausta matematikos 8 klasės ICSE sprendimai

Klausimas 1.
Išspręskite:
i)
ii)
(iii) (x + 2) (x + 3) + (x & # 8211 3) (x & # 8211 2) & # 8211 2x (x + 1) = 0
iv)
(v) 13 (x & # 8211 4) & # 8211 3 (x & # 8211 9) & # 8211 5 (x + 4) = 0
vi) x + 7 ir # 8211
vii)
viii)
(ix)
x)
xi)
xii)
xiii)
xiv)
Sprendimas:






2 klausimas.
Po 12 metų man bus 3 kartus daugiau metų nei 1 buvo prieš 4 metus. Rask mano dabartinį amžių.
Sprendimas:

3 klausimas.
Vyras pardavė gaminį už 7396 ir gavo 10 proc. Raskite straipsnio savikainą
Sprendimas:

4 klausimas.
Dviejų skaičių suma yra 4500. Jei 10% vieno skaičiaus yra 12,5% kito, raskite skaičius.
Sprendimas:

5 klausimas.
Dviejų skaičių suma yra 405, o jų santykis yra 8: 7. Raskite skaičius.
Sprendimas:

6 klausimas.
A ir B amžiaus santykis yra 7: 5. Vadinasi, po dešimties metų jų amžiaus santykis bus 9: 7. Raskite dabartinį jų amžių.
Sprendimas:

7 klausimas.
Raskite skaičių, kurio dvigubas skaičius yra 45 didesnis už jo pusę.
Sprendimas:

8 klausimas.
Dviejų iš eilės einančių skaičių kvadratų skirtumas yra 31. Raskite skaičius.
Sprendimas:

9 klausimas.
Raskite tokį skaičių, kad atėmus 5 iš 5 kartų didesnio skaičiaus, rezultatas būtų 4 daugiau nei dvigubai didesnis už skaičių.
Sprendimas:

10 klausimas.
Dalies skaitiklis yra 5 mažesnis už vardiklį. Jei prie skaitiklio pridedama 3 ir vardiklis abu, trupmena tampa. Raskite pradinę trupmeną.
Sprendimas:


Atitinka NCTM standartus:

Aprašymas: [PASTABA: Šis vaizdo įrašas yra tik 12 minučių visos 3 valandų pamokos dalis. Apsilankykite mano svetainėje, kad įsigytumėte pilną versiją. Šioje pamokoje pateikiama saviugda, kaip išspręsti tipines tiesines žodžių užduotis (istorijos problemas ar pritaikytas problemas). Mokytojas formulėse parodo, kaip išspręsti konkretų kintamąjį. Jis taip pat aptaria, kaip paslėpti pasikartojantį kablelį į trupmeną (kuris buvo praleistas pagrindinėje matematikos dalyje: 6 pamoka - "trupmenos ") ir išmokys konvertuoti matavimo vienetus.

Atliktų žodžių problemų pavyzdžiai:

Skaičiaus radimas pagal tam tikrus kriterijus.
Žodžių problemos, susijusios su tam tikra geometrija (trikampis, stačiakampis, apskritimas).
Amžiaus problemos.
Mišinio problemos.
Pinigų problemos (mano gyvenimo istorija!).
Normos, laiko ir atstumo problemos.
Procentinės lygtys / problemos.
Santykis ir proporcija (sąvokos ir problemų sprendimas, įskaitant panašius trikampius).
Problemos, susijusios su vieneto kaina.


2.4: Tiesinių lygčių sprendimas - II dalis

Sveiki atvykę į mano internetines matematikos pamokas ir užrašus. Šios svetainės tikslas - pateikti visą nemokamų internetinių (ir atsisiųstų) užrašų ir (arba) vadovėlių rinkinį klasėms, kurias dėstau Lamaro universitete. Aš bandžiau užrašus / pamokas rašyti taip, kad jie būtų prieinami visiems, norintiems išmokti dalyko, neatsižvelgiant į tai, ar tu esi mano klasėse, ar ne. Kitaip tariant, jie nemano, kad turite kokių nors išankstinių žinių, išskyrus standartinį būtinosios medžiagos, reikalingos tai klasei, rinkinį. Kitaip tariant, manoma, kad jūs žinote Algebrą ir Trigą prieš skaitydami „Calculus I“ užrašus, žinote „Calculus I“ prieš skaitydami „Calculus II“ pastabas, ir pan. Prielaidos apie jūsų kilmę pateikiamos kiekviename žemiau esančiame aprašyme.

Norėčiau padėkoti Shane'ui F, Fredui J., Mike'ui K. ir Davidui A. už visas klaidas, kurias jie rado ir atsiuntė mano keliu! Aš bandžiau įrodyti, kad perskaičiau šiuos puslapius ir gavau tiek klaidų, kiek galėjau, tačiau visų jų neįmanoma sugauti, kai jūs taip pat esate asmuo, parašęs medžiagą. Fredas, Mike'as ir Davidas pagavo nemažai klaidų, kurių praleidau ir buvau pakankamai malonūs, kad galėčiau juos išsiųsti. Dar kartą ačiū Fredui, Mike'ui ir Davidui!

Jei esate vienas iš mano dabartinių studentų ir čia ieškote namų darbų, turiu nuorodų rinkinį, kuris pateks į tinkamus čia išvardytus puslapius.

Šiuo metu internete gavau savo algebros (matematikos 1314), skaičiavimo I (matematikos 2413), skaičiavimo II (matematikos 2414), skaičiavimo III (matematikos 3435) ir diferencialinių lygčių (matematikos 3301) klasės užrašus / pamokas. Aš taip pat turiu keletą apžvalgos / priedų. Tarp mano gautų atsiliepimų / priedų yra „Algebra / Trig“ apžvalga mano skaičiavimo studentams, sudėtingo skaičiaus pradmenis, bendrų matematikos klaidų rinkinys ir keletas patarimų, kaip mokytis matematikos.

Aš taip pat padariau daugumą šios svetainės puslapių atsisiųsti. Šios atsisiunčiamos versijos yra pdf formatu. Kiekvieną šios svetainės temą galima atsisiųsti kaip pilną, o labai didelių dokumentų atveju aš juos taip pat suskirstiau į mažesnes dalis, kurios dažniausiai atitinka kiekvieną atskirą temą. Norėdami gauti atsisiųstą bet kurios temos versiją, eikite į tą temą ir tada spustelėkite parsisiųsti meniu jums bus pateikta galimybė atsisiųsti temą.

Čia pateikiamas išsamus visų šiuo metu šioje svetainėje esančių dalykų sąrašas ir trumpas jų aprašymas.

„Algebra Cheat Sheets“ - tai yra tiek daug įprastų algebros faktų, savybių, formulių ir funkcijų, kurias galėčiau sugalvoti. Taip pat yra puslapis su įprastomis algebros klaidomis. Yra dvi apgaulės lapo versijos. Vienas yra viso dydžio ir šiuo metu yra keturi puslapiai. Kita versija yra sumažinta versija, kurioje yra tokia pati informacija kaip ir pilnoje versijoje, išskyrus tai, kad ji ką tik buvo sumažinta, todėl du priekinio ir du puslapiai atspausdinti ant vieno popieriaus galo.

„Trig Cheat Sheets“ - čia pateikiami bendri faktai, savybės ir formulės. Taip pat įtraukiamas vienetinis apskritimas (visiškai užpildytas). Yra dvi apgaulės lapo versijos. Vienas yra viso dydžio ir šiuo metu yra keturi puslapiai. Kita versija yra sumažinta versija, kurioje yra tokia pati informacija kaip ir pilnoje versijoje, išskyrus tai, kad ji ką tik buvo sumažinta, todėl du priekinio ir du puslapiai atspausdinti ant vieno popieriaus galo.

„Calculus Cheat Sheets“ - tai „Calculus Cheat Sheets“ serija, apimanti didžiąją dalį standartinio „Calculus I“ kurso ir keletą temų iš „Calculus II“ kurso. Čia yra keturi skirtingi apgaulės lapai. Viename yra visa informacija, vienas turi tik ribų informaciją, vienas turi tik informaciją apie išvestinius finansinius instrumentus, o paskutinis - tik su „Integrals“. Kiekvienas apgaulės lakštas yra dviejų versijų. Pilnas dydis ir sumažintas, turint tiksliai tą pačią informaciją kaip ir viso dydžio versija, atspausdinant du puslapius kiekvieno popieriaus puslapio priekyje ir (arba) gale.

Bendrieji dariniai ir integralai - čia pateikiamas bendrų darinių ir integralų rinkinys, kuris yra šiek tiek reguliariai naudojamas skaičiuojant I ar II skaičiavimo klasę. Taip pat yra priminimai apie keletą integracijos metodų. Čia pateikiamos dvi apgaulingo lapo versijos. Vienas yra viso dydžio ir šiuo metu yra keturi puslapiai. Kita versija yra sumažinta versija, kurioje yra tokia pati informacija kaip ir pilnoje versijoje, išskyrus tai, kad ji ką tik buvo sumažinta, todėl du priekinio ir du puslapiai atspausdinti ant vieno popieriaus galo.

Laplaso transformacijų lentelė - čia yra diferencialinių lygčių klasės Laplaso transformacijų sąrašas. Šioje lentelėje pateikiama daugybė dažniausiai naudojamų Laplaso transformacijų ir formulių. Šiuo metu jis yra dviejų puslapių ilgio, o pirmasis puslapis yra Laplaso transformacijos, o antrasis - informacija / faktai apie kai kuriuos įrašus.

Visose klasėse, išskyrus diferencialines lygtis, yra praktikos problemų (su sprendimais), kurias galite naudoti praktikai, taip pat užduočių problemų (be sprendimų / atsakymų), kurias instruktoriai gali naudoti, jei jie nori.

  • Preliminarūs rodikliai - eksponentų ypatybės, racionalieji eksponentai, neigiami eksponentai, radikalai, polinomai, faktoringas, racionaliosios išraiškos, kompleksiniai skaičiai
  • Lygčių ir nelygybių sprendimas - tiesinės lygtys, kvadratinės lygtys, kvadrato užbaigimas, kvadratinė formulė, tiesinių ir kvadratinių lygčių taikymai, redukuojami į kvadratinę formą, lygtys su radikalais, tiesinės nelygybės, daugianario ir racionaliosios nelygybės, absoliučios vertės lygtys ir nelygybės.
  • Grafika ir funkcijos - braižomos linijos, apskritimai ir pjesės funkcijos, funkcijų apibrėžimas, funkcijų žymėjimas, funkcijų sudėtis, atvirkštinės funkcijos.
  • Dažni grafikai - parabolės, elipsės, hiperbolos, absoliuti vertė, kvadratinė šaknis, pastovioji funkcija, racionaliosios funkcijos, poslinkiai, atspindžiai, simetrija.
  • Polinomų funkcijos - polinomų, nulinių / polinomų šaknų padalijimas, polinomų nulių suradimas, daugianarių, dalinių trupmenų grafikų sudarymas.
  • Eksponentinės ir logaritminės funkcijos - eksponentinės funkcijos, logaritmo funkcijos, eksponentinių funkcijų sprendimas, logaritmo funkcijų sprendimas, programos.
  • Lygčių sistemos - pakaitų metodas, eliminavimo metodas, išplėstinė matrica, netiesinės sistemos.

„Algebra“ pastabose / pamokoje daroma prielaida, kad jūs šiek tiek susipažinote su „Algebra“ pagrindais. Visų pirma daroma prielaida, kad rodikliai ir faktoringo skyriai bus daugiau jūsų apžvalga. Taip pat daroma prielaida, kad pamatėte lygčių braižymo pagrindus. Konkrečių tipų lygčių braižymas plačiai aprašytas pastabose, tačiau manoma, kad suprantate pagrindinę koordinačių sistemą ir kaip braižyti taškus.

  • „Algebra“ / „Trig“ apžvalga - „Trig“ funkcijos ir lygtys, eksponentinės funkcijos ir lygtys, logaritmo funkcijos ir lygtys.
  • Ribos - sąvokos, apibrėžimas, skaičiavimas, vienpusės ribos, tęstinumas, ribos, susijusios su begalybe, „L'Hospitals“ taisyklė
  • Išvestiniai dariniai. Apibrėžimas, aiškinimai, išvestinių formulės, galios taisyklė, produkto taisyklė, koeficiento taisyklė, grandinės taisyklė, aukštesnės eilės išvestiniai dariniai, numanoma diferenciacija, logaritminė diferenciacija, išvestinių funkcijų išvestinės, eksponentinės funkcijos, logaritmo funkcijos, atvirkštinės trigerio funkcijos ir hiperbolinės trigmento funkcijos. .
  • Išvestinių finansinių priemonių taikymas - susijusios normos, kritiniai taškai, minimalios ir maksimalios vertės, funkcijų didinimas / mažinimas, infliacijos taškai, įdubimas, optimizavimas
  • Integracija - apibrėžimas, neapibrėžtieji integralai, apibrėžtieji integralai, pakaitalo taisyklė, apibrėžtųjų integralų įvertinimas, pagrindinė skaičiavimo teorema
  • „Integrals“ programos - vidutinė funkcijos vertė, plotas tarp kreivių, revoliucijos kietosios medžiagos, darbas.

„Calculus I“ užrašuose / pamokoje daroma prielaida, kad jūs turite pakankamai žinių apie „Algebra“ ir „Trig“. Yra keletas „Algebra“ ir „Trig“ temų apžvalgų, tačiau dažniausiai manoma, kad „Algebra“ ir „Trig“ turite tinkamą išsilavinimą. Šiose pastabose daroma prielaida, kad nėra išankstinių žinių apie skaičiavimą.

  • Integravimo būdai - integravimas dalimis, integrai, įtraukiantys trigimo funkcijas, trigų pakaitalai, integracija naudojant dalines frakcijas, integralai, įtraukiantys šaknis, integralai, įtraukiantys kvadratiką, integracijos strategija, netinkami integralai, netinkamų integralų palyginimo testas ir apytiksliai apibrėžtų integralų derinimas.
  • „Integrals“ programos - lanko ilgis, paviršiaus plotas, masės centras / centroidas, hidrostatinis slėgis ir jėga, tikimybė.
  • Parametrinės lygtys ir polinės koordinatės - parametrinės lygtys ir amp kreivės, skaičiavimas su parametrinėmis lygtimis (tangentai, plotai, lanko ilgis ir paviršiaus plotas), polinės koordinatės, skaičiavimas su polinėmis koordinatėmis (tangentai, plotai, lanko ilgis ir paviršiaus plotas).
  • Sekos ir serijos - sekos, serijos, serijų konvergencija / divergencija, absoliučios serijos, integruotas testas, palyginimo testas, ribinio palyginimo testas, pakaitinių serijų testas, santykio testas, šaknies testas, serijos vertės nustatymas, „Power Series“, „Taylor Series“, Dvejetainė serija
  • Vektoriai - pagrindai, dydis, vieneto vektorius, aritmetika, taškinis produktas, kryžminis produktas, projekcija
  • Trijų dimensijų koordinačių sistema - linijų lygtys, plokštumų lygtys, kvadratiniai paviršiai, kelių kintamųjų funkcijos, vektorinės funkcijos, ribos, išvestinės ir vektorinių funkcijų integralai, tangentiniai vektoriai, normalūs vektoriai, binariniai vektoriai, kreivumas, cilindrinės koordinatės, sferinės koordinatės

„Calculus II“ pastabose / pamokoje daroma prielaida, kad turite darbinių žinių apie „Calculus I“, įskaitant ribas, išvestines priemones ir integraciją (iki pagrindinio pakeitimo). Taip pat daroma prielaida, kad jūs pakankamai gerai išmanote „Trig“. Kelios temos labai priklauso nuo „trig“ ir žinių apie „trig“ funkcijas.

  • Trijų dimensijų koordinačių sistema - linijų lygtys, plokštumų lygtys, kvadratiniai paviršiai, kelių kintamųjų funkcijos, vektorinės funkcijos, ribos, išvestinės ir vektorinių funkcijų integralai, tangentiniai vektoriai, normalūs vektoriai, binariniai vektoriai, kreivumas, cilindrinės koordinatės, sferinės koordinatės
  • Daliniai išvestiniai dariniai - ribos, daliniai dariniai, aukštesnės eilės daliniai išvestiniai dariniai, diferencialai, grandinės taisyklė, krypties dariniai, gradientas.
  • Dalinių išvestinių priemonių taikymas - tangentinė plokštuma, normali linija, santykinė ekstrema, absoliutus ekstremumas, optimizavimas, Lagrange'o daugikliai.
  • Keli integralai - iteruoti integralai, dvigubi integralai, dvigubi integriniai elementai poliarinėse koordinatėse, trigubi integralai, trigubi integralai cilindrinėse koordinatėse, trigubi integriniai sferinėse koordinatėse, kintamųjų keitimas, paviršiaus plotas.
  • Linijos integralai - vektoriniai laukai, linijos integralai, atsižvelgiant į lanko ilgį, linijos integralai, atsižvelgiant į x ir y, Vektorių laukų tiesiniai integralai, pagrindinė linijų integralų teorema, konservatyvūs vektorinių laukai, potencialios funkcijos, Greeno teorema, garbanos, divergencija.
  • Paviršiaus integralai - parametriniai paviršiai, paviršiaus integralai, vektorinių laukų paviršiaus integralai, Stokso teorema, divergencijos teorema.

„Calculus III“ pastabose / pamokoje daroma prielaida, kad turite „Calculus I“ darbinių žinių, įskaitant ribas, išvestines priemones ir integraciją. Taip pat daroma prielaida, kad skaitytojas gerai išmano keletą „Calculus II“ temų, įskaitant kai kurias integravimo technikas, parametrines lygtis, vektorius ir erdvinės erdvės išmanymą.

  • Pirmojo laipsnio diferencialinės lygtys - tiesinės lygtys, atskiriamos lygtys, tikslios lygtys, pusiausvyros sprendimai, modeliavimo problemos.
  • Antrosios eilės diferencialinės lygtys - homogeniškos ir nehomogeniškos antrosios eilės diferencialinės lygtys, pagrindinis sprendinių rinkinys, nenustatyti koeficientai, parametrų kitimas, mechaniniai virpesiai
  • „Laplace“ transformacijos - apibrėžimas, atvirkštinės transformacijos, žingsnių funkcijos, „Heaviside“ funkcijos, „Dirac-Delta“ funkcija, IVP sprendimas, nehomogeninis IVP, nestacionarus koeficientas IVP, konvoliucijos integralas.
  • Diferencinių lygčių sistemos - matricos forma, savinės vertės / savieji vektoriai, fazių plokštuma, nehomogeninės sistemos, Laplaso transformacijos.
  • Serijos sprendimai - serijos sprendimai, Eulerio diferencialinės lygtys.
  • Aukštesnės eilės diferencialinės lygtys - n Trečiojo laipsnio diferencialinės lygtys, nenustatyti koeficientai, parametrų kitimas, 3 x 3 diferencialinių lygčių sistemos.
  • Ribinės vertės problemos ir „Fourier“ serijos - ribinės vertės problemos, savosios vertės ir savosios funkcijos, stačiakampės funkcijos, Furjė sinusų serija, Furjė kosinuso serija, Furjė serija.
  • Dalinės diferencialinės lygtys - šilumos lygtis, bangų lygtis, Laplaso lygtis, kintamųjų atskyrimas.

Šiose pastabose daroma prielaida, kad nėra išankstinių žinių apie diferencialines lygtis. Tačiau reikia gerai suvokti skaičiavimą. Tai apima darbo diferenciacijos ir integracijos žinias.

Šioje apžvalgoje aptariamos ne visos „Algebra“ ar „Trig“ klasėje nagrinėjamos temos. Dažniausiai aptariau temas, kurios ypač svarbios „Calculus“ klasės mokiniams. Įtraukiau keletą temų, kurios nėra tokios svarbios „Calculus“ klasei, tačiau, atrodo, studentai kartais turi problemų. Kiek laiko leis, pridėsiu ir daugiau skyrių.

Peržiūra pateikiama kaip problemos rinkinys, nurodant pirmąjį sprendimą, kuriame pateikiama išsami informacija apie tai, kaip dirbti su tokio tipo problemomis. Vėlesni sprendimai paprastai nėra tokie išsamūs, tačiau juose gali būti daugiau / naujos informacijos, kaip reikalaujama.

Atkreipkite dėmesį, kad šis pradžiamokslis daro prielaidą, kad prieš skaitydami bent jau matėte keletą sudėtingų skaičių. Šio dokumento tikslas yra šiek tiek daugiau nei mato dauguma žmonių, kai pirmieji supažindinami su sudėtingais skaičiais, tarkim, „College Algebra“ klasėje. Be to, šis dokumentas jokiu būdu nėra skirtas išsamiam sudėtingų skaičių vaizdui, taip pat neapima visų susijusių sąvokų (tai savaime yra visa klasė).

Ši svetainės dalis turėtų būti įdomi tiems, kurie ieško įprastų matematikos klaidų. Jei nepriklausote skaičiavimo klasei arba nevartojote skaičiavimo, tiesiog nepaisykite paskutinio skyriaus.

Kaip mokytis matematikos - tai trumpas skyrius su patarimais, kaip geriausiai mokytis matematikos.


Žiūrėti video įrašą: Lygčių sistemų sprendimas (Lapkritis 2021).