Straipsniai

13.4: Matematikos modeliai ir geometrija


Mus supa visokia geometrija. Architektai projektuojant pastatus naudoja geometriją. Menininkai kuria ryškius vaizdus iš spalvingų geometrinių formų. Gatvių ženklai, automobiliai ir gaminių pakuotės naudoja geometrines savybes. Šiame skyriuje mes pirmiausia apsvarstysime oficialų požiūrį į problemų sprendimą ir naudosime jį sprendžiant įvairias įprastas problemas, įskaitant sprendimų dėl pinigų priėmimą. Tada mes išnagrinėsime geometriją ir susiesime ją su kasdienėmis situacijomis, naudodami sukurtą problemų sprendimo strategiją.

  • 13.4.1: Pinigų paraiškų sprendimas
    Monetos žodžių uždavinių sprendimas yra panašus į bet kokių kitų žodžių uždavinių sprendimą. Tačiau išskirtinis yra tas, kad jūs turite rasti bendrą monetų vertę, o ne tik bendrą monetų skaičių. Tos pačios rūšies monetų bendrą vertę galima sužinoti padauginus monetų skaičių iš atskiros monetos vertės. Jums gali būti naudinga sudėti visus skaičius į lentelę, kad įsitikintumėte, jog jie tikrina.
  • 13.4.2: Naudokite kampų, trikampių ir Pitagoro teoremos savybes (1 dalis)
    Kampą sudaro du spinduliai, turintys bendrą galinį tašką. Kiekvienas spindulys vadinamas kampo puse, o bendrasis galas - viršūne. Jei dviejų kampų matų suma yra 180 °, tai jie yra papildomi kampai. Bet jei jų suma yra 90 °, tai jie yra vienas kitą papildantys kampai. Mes pritaikysime savo problemų sprendimo strategiją taikydami geometriją. Kadangi šiose programose bus naudojamos geometrinės figūros, tai padės nupiešti figūrą ir paženklinti problemos informacija.
  • 13.4.3: Naudokite kampų, trikampių ir Pitagoro teoremos savybes (2 dalis)
    Trikampiai pavadinti pagal jų viršūnes. Bet kurio trikampio kampų matų suma yra 180 °. Kai kurie trikampiai turi specialius pavadinimus, pavyzdžiui, stačiasis trikampis, turintis vieną 90 ° kampą. Pitagoro teorema pasakoja, kaip trijų stačiojo trikampio kraštinių ilgiai yra susiję vienas su kitu. Jame teigiama, kad bet kuriame stačiajame trikampyje dviejų kojų kvadratų suma lygi hipotenūzo kvadratui. Norėdami išspręsti problemas, kuriose naudojama Pitagoro teorema, turėsime rasti kvadratines šaknis.
  • 13.4.4: Stačiakampių, trikampių ir trapecijų savybių naudojimas (1 dalis)
    Daugelyje geometrijos programų reikės rasti figūros perimetrą arba plotą. Perimetras yra atstumo aplink figūrą matas. Plotas yra paveikslo padengto paviršiaus matas. Tūris yra figūros užimamos vietos kiekio matas. Stačiakampis turi keturias šonus ir keturis stačius kampus. Priešingos stačiakampio pusės yra vienodo ilgio. Vieną stačiakampio kraštą vadiname ilgiu L, o gretimą kraštą - pločiu W.
  • 13.4.5: Stačiakampių, trikampių ir trapecijų savybių naudojimas (2 dalis)
    Sutampančių trikampių kraštinės ilgiai ir kampai yra vienodi, todėl jų plotai yra vienodi. Trikampio plotas yra pusė pagrindo ir aukščio. Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės yra vienodo ilgio, o trikampis, turintis tris vienodo ilgio kraštus, yra lygiakraštis trikampis. Trapecija yra keturių pusių figūra, kurios dvi pusės yra lygiagrečios, pagrindai ir dvi pusės nėra. Trapecijos plotas yra pusė aukščio, padauginto iš pagrindų sumos.

9.1 pav. Atkreipkite dėmesį į daugybę pavienių figūrų šiame pastate. (kreditas: Bertas Kaufmannas, „Flickr“)


Naujausios žinutės

Apie mus

Paperwritten.com yra internetinė rašymo paslauga tiems, kurie kovoja su savo rašymu. Taip paprasta. Nesvarbu, ar esate studentas, kuriam sunku rašyti aprašomąjį rašinį, ar magistrantūros studijos, bandančios parengti disertaciją, ar absolventas, ieškantis būdų pagerinti savo gyvenimo aprašymą - „PaperWritten.com“ yra geriausias jūsų sprendimas.

Daugiau nei 100 gimtosios angliškai kalbančių rašytojų įgula. Nuo 2008 m. Mes sunkiai dirbame, kad surinktume rašymo pramonės kremą.

Todėl mes sukūrėme daugiau nei 100 amerikiečių, britų, australų, kanadiečių ir europiečių rašytojų, redaktorių ir korektorių - tai nuostabi rašymo jėga, leidžianti suteikti klientams 100% pinigų grąžinimo garantiją.


Remiantis TExES 4-8 matematikos standartais

Hiustono universiteto nemokamos internetinės matematikos viktorinos yra pagrįstos toliau išvardytomis „TExES Mathematics 4-8“ sritimis ir kompetencijomis. Norėdami gauti informacijos apie tai, kaip kiekviena internetinė viktorina susijusi su šiomis kompetencijomis, kairėje esančioje naršymo srityje spustelėkite nuorodą „Viktorinų apžvalga“.

MOKYTOJAS supranta SKAIČIŲ SISTEMŲ STRUKTŪRĄ, KIEKIO JUTIMO PLĖTROS IR KIEKYBĖS IR SIMBOLINIŲ REPREZENTACIJŲ SANTYKĮ.

  1. Analizuoja numeracijos sistemų struktūrą ir vietinės vertės bei nulio vaidmenis pagrindinėje dešimties sistemoje.

MOKYTOJAS supranta skaičiaus operacijas ir skaičiavimo algoritmus.

  1. Kvalifikuotai dirba su realiais ir sudėtingais skaičiais ir jų operacijomis.

MOKYTOJAS Supranta SKAIČIŲ TEORIJOS IDĖJAS IR SKAIČIUS NAUDOJA Modeliuodamas ir spręsdamas problemas matematikos viduje ir išorėje.

  1. Demonstruoja skaičių teorijos supratimą apie idėjas (pvz., Pagrindinį koeficientą, didžiausią bendrą daliklį), nes jos taikomos sveikiesiems skaičiams, sveikiesiems skaičiams ir racionaliesiems skaičiams, ir šias idėjas naudoja probleminėse situacijose.


II DOMAIN - RAŠTAI IR ALGEBRA

MOKYTOJAS Supranta ir naudoja matematinę priežastį, siekdamas nustatyti, išplėsti ir analizuoti modelius bei suprasti kintamųjų, išraiškų, lygybės, nelygybės, santykių ir funkcijų santykius.

  1. Naudoja induktyvius argumentus, kad atpažintų, išplėstų ir sukurtų modelius, naudodamas konkrečius modelius, figūras, skaičius ir algebrines išraiškas.

Dėstytojas supranta ir naudojasi linijinėmis funkcijomis modeliuodamas ir spręsdamas problemas.

  1. Parodo linijinės funkcijos sampratos supratimą naudojant konkrečius modelius, lenteles, grafikus ir simbolinius bei žodinius vaizdus.

Dėstytojas supranta ir naudoja netiesines funkcijas ir santykius modeliuodamas ir spręsdamas problemas.

  1. Taiko įvairius metodus kvadratinės funkcijos ar santykio šaknims (realioms ir kompleksinėms), viršūnei ir simetrijai tirti.

MOKYTOJAS NAUDOJA IR supranta koncepcinius skaičiavimo pagrindus, susijusius su vidutinės mokyklos matematikos temomis.

  1. Susieja vidurinės mokyklos matematikos temas su ribų sąvokomis sekose ir serijose.

MOKYTOJAS MATAVIMUS supranta kaip procesą.

  1. Parenka ir naudoja atitinkamus matavimo vienetus (pvz., Temperatūrą, pinigus, masę, svorį, plotą, talpą, tankį, procentus, greitį, pagreitį), kad būtų galima apskaičiuoti, palyginti ir perduoti informaciją.

Dėstytojas supranta geometrinius santykius ir aksiomatišką EUCLIDEAN geometrijos struktūrą.

  1. Supranta taškų, tiesių, plokštumų, kampų, ilgių ir atstumų sąvokas ir savybes.

Dėstytojas analizuoja dviejų ir trijų matmenų figūrų savybes.

  1. Naudoja ir supranta formulių kūrimą, kad rastų pagrindinių geometrinių figūrų ilgius, perimetrus, plotus ir tūrius.

MOKYTOJAS supranta transformacinę geometriją ir ALGEBRĄ sieja su geometrija ir trigonometrija, naudodamas KARTSIJOS KOORDINATŲ SISTEMĄ.

  1. Apibūdina ir pagrindžia geometrines konstrukcijas, padarytas naudojant atspindžio įtaisą ir kitas tinkamas technologijas.

MOKYTOJAS SUPRANTA, KAIP NAUDOTI DUOMENIS, APRAŠYTI PAVYZDŽIUS IR APRAŠYTI IŠ IŠMETIMŲ GRAFINES IR SKAITRINES TECHNIKAS.

  1. Tvarko ir rodo duomenis įvairiais formatais (pvz., Lentelės, dažnio pasiskirstymas, stiebo ir lapo diagramos, langelių ir ūsų grafikai, histogramos, skritulinės diagramos).

MOKYTOJAS SUPRANTA GALIMYBIŲ TEORIJĄ.

  1. Tiriant tikimybės sampratas renkant duomenis, atliekant eksperimentus ir imituojant modelius.

MOKYTOJAS supranta santykius tarp tikimybių teorijos, mėginių ėmimo ir statistikos įtakos bei kaip statistinė įtaka naudojama darant ir vertinant prognozes.

  1. Taiko žinias apie statistinių eksperimentų projektavimą, atlikimą, analizavimą ir interpretavimą realaus pasaulio problemoms tirti.

Dėstytojas supranta matematinį sumetimą ir problemų sprendimą.

  1. Demonstruoja įrodymo, įskaitant netiesioginį, matematikos supratimą.

MOKYTOJAS Supranta matematines jungtis matematikoje ir už jos ribų bei kaip perduoti matematines idėjas ir sampratas.

  1. Atpažįsta ir naudoja kelis matematinės sąvokos vaizdinius (pvz., Tašką ir jo koordinates, apskritimo plotą kaip kvadratinę funkciją r, tikimybę kaip dviejų sričių santykį).

Dėstytojas supranta, kaip vaikai mokosi ir plėtoja matematinius įgūdžius, procedūras ir koncepcijas.

  1. Taiko matematikos mokymosi teorijas ir principus, kad suplanuotų tinkamą mokomąją veiklą.

MOKYTOJAS supranta, kaip planuoti, organizuoti ir įgyvendinti instrukcijas, naudojant studentų žinias, dalyką ir valstybinę programą („TEXAS ESMINĖS ŽINIOS IR ĮGŪDŽIAI [TEKS]“), MOKYTI VISUS MOKYTOJUS MATEMATIKAI NAUDOTI.

  1. Parodo įvairių mokymo metodų, įrankių ir užduočių, skatinančių mokinių gebėjimą atlikti matematiką, supratimą, aprašytą TEKS.

Dėstytojas supranta vertinimą ir naudoja oficialios ir neformalios vertinimo metodų įvairovę, kad stebėtų ir vadovautųsi matematikos instrukcijomis bei įvertintų studentų pažangą.

  1. Parodo supratimą apie įvairių matematikos vertinimų, įskaitant formuojamuosius ir apibendrinamuosius, tikslus, ypatybes ir naudojimą.


13.4: Matematikos modeliai ir geometrija

Dauguma patalpų mobiliųjų robotų juda ne kaip automobilis. Pavyzdžiui, apsvarstykite mobiliosios robotikos platformą, parodytą 13.2a paveiksle. Tai yra populiariausio patalpų mobiliųjų robotų vairavimo būdo pavyzdys. Yra du pagrindiniai ratai, kurių kiekvienas pritvirtintas prie savo variklio. Trečias ratas (nematomas 13.2a paveiksle) dedamas gale, kad pasyviai riedėtų kartu, tuo pačiu neleisdamas robotui apvirsti.

13.2 pav. (A) „Pioneer 3-DX8“ („ActivMedia Robotics“ sutikimas: MobileRobots.com) ir daugelis kitų mobiliųjų robotų naudoja diferencialą. Be dviejų varančiųjų ratų, užpakaliniame centre dedamas ratukas (kaip ant biuro kėdės apačios), kad robotas nenuvirstų. b) bendro diferencialo pavaros roboto parametrai.
13.3 pav. (A) Grynas poslinkis įvyksta, kai abu ratai juda tuo pačiu kampiniu greičiu (b) grynas sukimasis įvyksta tada, kai ratai juda priešingu greičiu.

Norint sukurti paprastą apribojimų, atsirandančių dėl diferencialo pavaros, modelį, reikia tik atstumo tarp dviejų ratų ir rato spindulio. Žr. 13.2b paveikslą. Veiksmo vektorius tiesiogiai nurodo du kampinius rato greičius (pvz., Radianais per sekundę). Apsvarstykite, kaip robotas juda, kai taikomi skirtingi veiksmai. Žr. 13.3 pav. Jei 0 $ ->, tada robotas juda į priekį ta linkme, kuria ratai nukreipti. Greitis yra proporcingas. Apskritai, jei, tada per tam tikrą laiką nuvažiuotas atstumas yra (nes yra bendras ratų poslinkis). Jei, tada robotas sukasi pagal laikrodžio rodyklę, nes ratai sukasi priešinga kryptimi. Tai motyvuoja kėbulo rėmo atsiradimą ašies centre tarp ratų. Pagal šį priskyrimą vertimas nevyksta, jei ratai sukasi tuo pačiu greičiu, bet priešinga kryptimi.

Remiantis šiais pastebėjimais, konfigūracijos perėjimo lygtis yra

Vertimo dalyje yra ir dalys, kaip ir paprastame automobilyje, nes diferencialo pavara juda ta kryptimi, kuria nukreipiami jo varomieji ratai. Vertimo greitis priklauso nuo ratų kampinių greičių vidurkio. Norėdami tai pamatyti, apsvarstykite atvejį, kai vienas ratas yra užfiksuotas, o kitas sukasi. Iš pradžių robotas verčiasi greičiu, palyginti su abiem besisukančiais ratais. Sukimosi greitis yra proporcingas kampinio rato greičio pokyčiui. Roboto sukimosi greitis didėja tiesiai su rato spinduliu, tačiau mažėja tiesiškai atstumo tarp ratų atžvilgiu.

Kartais pageidautina transformuoti veiksmo erdvę. Leisk ir. Šiuo atveju galima interpretuoti kaip veiksmo kintamąjį, kuris reiškia „versti“ ir „pasukti“. Naudojant šiuos veiksmus, konfigūracijos perėjimo lygtis tampa

Šioje formoje konfigūracijos perėjimo lygtis panaši į paprasto automobilio (13.15) (pabandykite nustatyti ir). Diferencialo pavara gali lengvai imituoti paprasto automobilio judesius. Diferencialinės pavaros sukimosi greitį galima nustatyti nepriklausomai nuo perdavimo greičio. Tačiau paprastas automobilis turi greitį, kuris rodomas išraiškoje. Todėl sukimosi greitis priklauso nuo perdavimo greičio.

13.4 pav. Trumpiausias ašies centro nueitas kelias yra tiesiog linijos segmentas, jungiantis pradinę ir tikslo padėtį plokštumoje. Sukimasis yra nemokamas.

Prisiminkime užduotą klausimą apie trumpiausius „Reeds-Shepp“ ir „Dubins“ automobilių kelius. Tas pats diferencialo pavaros klausimas pasirodo neįdomus, nes dėl diferencialo pavaros ašies centras gali sekti bet kokį ištisinį kelią. Kaip pavaizduota 13.4 paveiksle, jis gali judėti tarp bet kokių dviejų konfigūracijų: 1) pirmiausia pasisukdamas, kad nukreiptų ratus į tikslo padėtį, o tai nesukelia jokio vertimo 2) paversdamas save tikslo padėtimi ir 3) pasukdamas norimą orientaciją , kuris vėlgi nesukelia jokio vertimo. Bendras ašies centro nuvažiuotas atstumas visada yra Euklido atstumas tarp dviejų norimų padėčių.

Tai gali atrodyti keistas poveikis dėl koordinačių pradžios išdėstymo. Panašu, kad sukimasis nekainuoja. Tai galima išspręsti optimizuojant bendrą rato sukimosi kiekį arba reikalingą laiką, jei greitis laikomas fiksuotas [64]. Tarkime, kad. Minimalaus laiko, reikalingo kelionei tarp dviejų konfigūracijų, nustatymas yra gana įdomus ir aptartas 15.3 skirsnyje. Tai tinkamai atsižvelgia į roboto pasukimo kainą, net jei tai nesukelia vertimo.


Pasirinkite 8 klasės matematikos darbalapius pagal temas

Naršykite po 2 400 ir daugiau kaip aštuntos klasės matematikos darbalapius

Konvertuokite kiekvieną trupmeną, kurios vardiklis yra 10 kartotinis, į dešimtainį skaičių padedant dešimtainį tašką dešinėje.

Taikykite pagrindinį koeficientą ir nustatykite pirmųjų penkiasdešimties tobulų kvadratų, siūlomų kaip teigiami sveikieji skaičiai, kvadratines šaknis.

Naudokite formulę, m = (y2 - y1) / (x1 - x1) surasti tiesės, einančios per du taškus, nuolydį (m): (x1, y1) ir (x2, y2).

Vykdykite operacijų tvarką, pertvarkykite, kad nežinomas kintamasis taptų subjektu, ir išspręskite jo sveiko skaičiaus vertę.

Stebėkite kiekvieną A dalyje pateiktą sutvarkytų porų rinkinį, išsiaiškinkite sutvarkytas poras iš B dalies grafikų ir nurodykite, ar jie atspindi funkciją.

Stumkite kiekvieną paveikslą minėta kryptimi: aukštyn arba žemyn, kairėn arba dešinėn. Parašykite perkelto vaizdo koordinates.

Užpildykite kiekvienos trikampių poros sutapimo teiginį, parašydami atitinkamą kraštą arba atitinkamą kampą.

Raskite nurodyto vidaus kampo matą atimdami žinomų kampų sumą iš 180.

Stebėkite, ar vidiniai kampai yra toje pačioje ar priešingoje skersinio pusėje ir suraskite nežinomą kampą.

Kvadratuokite gretimą ir priešingą trikampio kraštus, imkite jų sumos šaknį, jei atvyksite į hipotenuzą, tai yra stačiasis trikampis.

Pridėkite nurodytą spindulį (r) ir aukštį (h) formulėje V = 1/3 & # x3c0r 2 h ir suraskite kūgio tūrį.

Perskaitykite kiekvieną žodžio problemą pagal realaus gyvenimo scenarijų ir raskite kiekvieno duomenų rinkinio vidurkį, medianą, režimą ir diapazoną.

Kiekvieną trupmeną perjunkite į procentą, padauginę skaitiklį iš 100, padaliję sandaugą iš vardiklio ir pridėdami simbolį%.

Kvadrato šaknies kvadratas yra radicand. Taigi, tiesiog padauginkite radicand su skaičiaus kvadratu už šaknies.

Išskirkite x ir y-terminus į vieną pusę, o konstanta - į kitą lygties pusę ir perrašykite ją tokia forma: ax + by = c.


Turinys

Senovės Graikija Redaguoti

Graikų matematikas Menaechmusas išsprendė uždavinius ir įrodinėjo teoremas naudodamas metodą, kuris buvo labai panašus į koordinačių naudojimą, ir kartais buvo teigiama, kad jis įvedė analitinę geometriją. [1]

Apolonijus iš Pergos, in Nustatykite skyrių, sprendė problemas tokiu būdu, kurį galima pavadinti analitine vienos dimensijos geometrija, ieškant taškų, esančių tiesėje, santykio su kitais. [2] Apolonijus Kūginiai toliau plėtojo metodą, kuris yra toks panašus į analitinę geometriją, kad kartais manoma, kad jo darbai maždaug 1800 metų numatė Descartes'o darbą. Jo taikytos atskaitos linijos, skersmuo ir liestinė iš esmės nesiskiria nuo šiuolaikinio koordinačių rėmo naudojimo, kai atstumas, matuojamas skersmeniu nuo liesties taško, yra abscizos, o segmentai yra lygiagretūs liestinei ir perimami tarp ašis ir kreivė yra ordinatės. Jis toliau plėtojo santykius tarp abscisų ir atitinkamų ordinatų, kurie prilygsta retorinėms kreivių lygtims. Tačiau, nors Apolonijus priartėjo prie analitinės geometrijos kūrimo, jam to padaryti nepavyko, nes jis neatsižvelgė į neigiamą dydį ir kiekvienu atveju koordinačių sistema buvo uždėta ant tam tikros kreivės a posteriori vietoj a priori. Tai yra, lygtys buvo nustatytos kreivėmis, bet kreivės nebuvo nustatytos lygtimis. Koordinatės, kintamieji ir lygtys buvo papildomos sąvokos, pritaikytos konkrečiai geometrinei situacijai. [3]

„Persia Edit“

XI amžiaus persų matematikas Omaras Khayyamas matė tvirtą geometrijos ir algebros ryšį ir judėjo teisinga kryptimi, kai padėjo pašalinti geometrinį bendrųjų kubinių lygčių sprendimą [5] tarp skaitmeninės ir geometrinės algebros [4]. bet lemiamas žingsnis buvo vėliau su Dekartu. [4] Omaras Khayyamas yra įskaitytas už algebrinės geometrijos pagrindų nustatymą ir jo knygą. Traktatas apie algebros problemų demonstravimą (1070), nustatęs analitinės geometrijos principus, yra persų matematikos dalis, kuri galiausiai buvo perduota Europai. [6] Dėl savo nuodugnaus geometrinio požiūrio į algebrines lygtis Khayyamas gali būti laikomas Dekarto pirmtaku išradus analitinę geometriją. [7]: 248

Vakarų Europa Redaguoti

Analitinę geometriją nepriklausomai išrado René Descartesas ir Pierre'as de Fermatas [8] [9], nors kartais Descartes'ui suteikiama vienintelė nuopelnas. [10] [11] Dekarto geometrija, alternatyvus terminas, naudojamas analitinei geometrijai, pavadintas Descartes'o vardu.

Descartes'as padarė didelę pažangą naudodamas esė pavadintą metodus „La Geometrie“ (geometrija), vienas iš trijų kartu esančių trijų esė (priedų), išleistų 1637 m Diskursas apie metodą, kaip teisingai nukreipti savo protą ir ieškoti tiesos moksluose, paprastai vadinamas Metodo diskursas. „La Geometrie“, parašytas gimtąja prancūzų kalba, ir jos filosofiniai principai suteikė pagrindą skaičiavimams Europoje. Iš pradžių darbas nebuvo gerai įvertintas, iš dalies dėl daugybės argumentų spragų ir sudėtingų lygčių. Tik po vertimo į lotynų kalbą ir 1649 m. Pridėto van Schooteno komentarų (ir tolesnių darbų) Descartes'o šedevras sulaukė deramo pripažinimo. [12]

Pierre'as de Fermatas taip pat buvo analitinės geometrijos kūrimo pradininkas. Nors jo gyvenime nebuvo išleista, rankraštis Ad locos planos et solidos isagoge („Introduction to Plane and Solid Loci“) buvo platinamas Paryžiuje 1637 m., Prieš pat paskelbiant Dekarto knygą. Diskursas. [13] Aiškiai parašyta ir gerai sutikta Įvadas taip pat padėjo pagrindą analitinei geometrijai. Pagrindinis skirtumas tarp Fermat ir Descartes gydymo yra požiūrio klausimas: Fermat visada pradėjo nuo algebrinės lygties ir tada aprašė ją tenkinančią geometrinę kreivę, o Descartes pradėjo nuo geometrinių kreivių ir jų lygtis sukūrė kaip vieną iš kelių kreivių savybių. . [12] Dėl šio požiūrio Descartes'ui teko spręsti sudėtingesnes lygtis ir jis turėjo sukurti metodus, kaip dirbti su aukštesnio laipsnio polinominėmis lygtimis. Tai buvo Leonhardas Euleris, kuris pirmą kartą taikė koordinačių metodą sistemingai tyrinėdamas kosmoso kreives ir paviršius.

Analitinėje geometrijoje plokštumai pateikiama koordinačių sistema, pagal kurią kiekvienas taškas turi realių skaičių koordinačių porą. Panašiai Euklido erdvei suteikiamos koordinatės, kur kiekvienas taškas turi tris koordinates. Koordinačių vertė priklauso nuo pradinio taško pasirinkimo. Naudojamos įvairios koordinačių sistemos, tačiau dažniausiai naudojamos šios: [16]

Dekarto koordinatės (plokštumoje ar erdvėje) Redaguoti

Dažniausiai naudojama koordinačių sistema yra Dekarto koordinačių sistema, kurioje kiekvienas taškas turi x- koordinatė, atstovaujanti horizontalią padėtį, ir a y- koordinatė, atstovaujanti jos vertikalią padėtį. Paprastai jie rašomi kaip sutvarkyta pora (x, y). Ši sistema taip pat gali būti naudojama trimačiai geometrijai, kai kiekvieną Euklido erdvės tašką vaizduoja išdėstyta triguba koordinačių (x, y, z).

Poliarinės koordinatės (plokštumoje) Redaguoti

Poliarinėmis koordinatėmis kiekvieną plokštumos tašką vaizduoja jo atstumas r nuo kilmės ir jos kampo θ, su θ paprastai matuojamas prieš teigiamą rodyklę prieš laikrodžio rodyklę x- ašis. Naudojant šį žymėjimą, taškai paprastai rašomi kaip sutvarkyta pora (r, θ). Tarp dviejų dimensijų Dekarto ir polinių koordinačių galima transformuoti pirmyn ir atgal, naudojant šias formules: x = r cos ⁡ θ, y = r sin ⁡ θ r = x 2 + y 2, θ = arctan ⁡ (y / x) < „displaystyle x = r“, „cos“ teta, , y = r , sin teta , r = < sqrt + y ^ <2> >>, , theta = arctan (y / x)>. Šią sistemą galima apibendrinti erdvinėje erdvėje naudojant cilindrines arba sferines koordinates.

Cilindrinės koordinatės (erdvėje) Redaguoti

Cilindrinėmis koordinatėmis kiekvieną erdvės tašką vaizduoja jo aukštis z, jo spindulys r nuo z- ašis ir kampas θ jo projekcija ant xylėktuvo pagaminta horizontalios ašies atžvilgiu.

Sferinės koordinatės (erdvėje) Redaguoti

Sferinėmis koordinatėmis kiekvieną erdvės tašką vaizduoja jo atstumas ρ nuo kilmės, kampo θ jo projekcija ant xyplokštumos padaryta atsižvelgiant į horizontalią ašį ir kampą φ kad tai daro atsižvelgiant į z- ašis. Kampų pavadinimai fizikoje dažnai būna pakeisti. [16]

Analitinėje geometrijoje bet kuri lygtis, apimanti koordinates, nurodo plokštumos pogrupį, būtent lygčiai nustatytą sprendimą arba lokusą. Pavyzdžiui, lygtis y = x atitinka visų taškų visumą plokštumoje, kurios x-koordinuoti ir y-koordinatės yra lygios. Šie taškai sudaro tiesę ir y = x sakoma, kad yra šios tiesės lygtis. Apskritai, tiesinės lygtys, apimančios x ir y nurodyti linijas, kvadratinės lygtys nurodo kūgines dalis, o sudėtingesnės lygtys apibūdina sudėtingesnes figūras. [17]

Paprastai viena lygtis atitinka plokštumos kreivę. Tai ne visada būna: triviali lygtis x = x nurodo visą plokštumą ir lygtį x 2 + y 2 = 0 nurodo tik vieną tašką (0, 0). Trijose dimensijose viena lygtis paprastai suteikia paviršių, o kreivė turi būti nurodyta kaip dviejų paviršių sankirta (žr. Toliau) arba kaip parametrinių lygčių sistema. [18] Lygtis x 2 + y 2 = r 2 yra bet kurio apskritimo, kurio centras yra pradžia (0, 0), kurio spindulys r, lygtis.

Linijos ir lėktuvai Redaguoti

Dekarto plokštumoje esančias linijas arba apskritai afininėmis koordinatėmis algebriškai galima apibūdinti pagal linijinis lygtis. Dviejuose matmenyse dažnai pateikiama ne vertikalių linijų lygtis nuolydžio-perėmimo forma:

m yra tiesės nuolydis arba nuolydis. b yra tiesės y perėmimas. x yra nepriklausomas funkcijos kintamasis y = f(x).

Analogiškai, kaip aprašomos linijos dvimatėje erdvėje, naudojant jų taškų nuolydžio formą jų lygtims, erdvinės erdvės plokštumos turi natūralų aprašymą, kuriame naudojamas taškas plokštumoje ir jam statmenas vektorius ( normalus vektorius), nurodantis jo „polinkį“.

(Taškas čia reiškia taškinį sandaugą, o ne skaliarinį dauginimą.) Išplėstas tai tampa

kuris yra taškas-normalu plokštumos lygties forma. [19] Tai tik tiesinė lygtis:

Ir atvirkščiai, lengvai parodyta, kad jei a, b, c ir d yra konstantos ir a, bir c nėra visi lygūs nuliui, tada lygties grafikas

yra plokštuma, kurios vektorius n = (a, b, c) < displaystyle mathbf = (a, b, c)> kaip įprasta. [20] Ši pažįstama plokštumos lygtis vadinama bendroji forma plokštumos lygties. [21]

Trijose dimensijose linijos gali ne apibūdinami viena tiesine lygtimi, todėl jie dažnai apibūdinami parametrinėmis lygtimis:

x, yir z yra visos nepriklausomo kintamojo funkcijos t kuris svyruoja virš tikrųjų skaičių. (x0, y0, z0) yra bet kuris tiesės taškas. a, bir c yra susiję su tiesės nuolydžiu taip, kad vektorius (a, b, c) yra lygiagreti tiesei.

Kūginės dalys Redaguoti

Dekarto koordinačių sistemoje kvadratinės lygties grafikas dviejuose kintamuosiuose visada yra kūginis pjūvis - nors jis gali būti išsigimęs ir visi kūginiai pjūviai atsiranda tokiu būdu. Lygtis bus formos

Skaičiuojant visas šešias konstantas gaunamas tas pats nulių lokusas, galima laikyti kūgius penkių dimensijų projekcinės erdvės P 5 taškais. < displaystyle mathbf

^<5>.>

Kūginius pjūvius, aprašytus šioje lygtyje, galima klasifikuoti naudojant diskriminantą [22]

Jei kūgis nėra degeneruotas, tada:

  • jei B 2 - 4 A C & lt 0 < displaystyle B ^ <2> -4AC & lt0>, lygtis atspindi elipsę
    • jei A = C < displaystyle A = C> ir B = 0 < displaystyle B = 0>, lygtis reiškia apskritimą, kuris yra specialus elipsės atvejis
    • jei taip pat turime A + C = 0 < displaystyle A + C = 0>, lygybė atspindi stačiakampę hiperbolę.

    Kvadriniai paviršiai Redaguoti

    A keturkampisarba kvadratinis paviršius, yra 2matmenų paviršius 3 dimensijų erdvėje, apibrėžtas kaip kvadratinio polinomo nulių vieta. Koordinatėmis x1, x2,x3 , bendrą kvadratą apibrėžia algebrinė lygtis [23]

    Analitinėje geometrijoje geometrinės sąvokos, tokios kaip atstumas ir kampo matas, apibrėžiamos naudojant formules. Šie apibrėžimai sukurti taip, kad atitiktų pagrindinę Euklido geometriją. Pavyzdžiui, naudojant Dekarto koordinates plokštumoje, atstumas tarp dviejų taškų (x1, y1) ir (x2, y2) apibrėžiama pagal formulę

    kurį galima vertinti kaip Pitagoro teoremos versiją. Panašiai kampą, kurį tiesė daro horizontaliai, galima apibrėžti pagal formulę

    kur m yra linijos nuolydis.

    Trijose dimensijose atstumas pateikiamas apibendrinant Pitagoro teoremą:

    o kampą tarp dviejų vektorių nurodo taškinis sandauga. Dviejų euklido vektorių taškinis sandauga A ir B apibrėžiamas [24]

    kur θ yra kampas tarp A ir B.

    Transformacijos taikomos pagrindinei funkcijai, kad paverstų ją nauja funkcija su panašiomis charakteristikomis.

    Yra ir kitų standartinių transformacijų, kurios paprastai nėra tiriamos elementarioje analitinėje geometrijoje, nes transformacijos keičia objektų formą taip, kaip paprastai nesvarstoma. Iškreipimas yra transformacijos, į kurią paprastai nesvarstoma, pavyzdys. Norėdami gauti daugiau informacijos, skaitykite Vikipedijos straipsnį apie afinų transformacijas.

    Transformacijos gali būti taikomos bet kuriai geometrinei lygčiai, neatsižvelgiant į tai, ar lygtis atspindi funkciją. Transformacijos gali būti laikomos atskirais sandoriais arba jų deriniais.

    yra santykis, apibūdinantis vieneto apskritimą.

    Tradiciniai sankirtų radimo metodai yra pakeitimas ir pašalinimas.

    Taigi mūsų sankirtoje yra du taškai:

    Taigi mūsų sankirtoje yra du taškai:

    Kūginių atkarpų sankirtoje gali būti net 4 taškai.

    Perklausų radimas Redaguoti

    Vienas plačiai tiriamų sankirtos tipų yra geometrinio objekto susikirtimas su koordinačių ašimis x < displaystyle x> ir y < displaystyle y>.

    Tangentinės linijos ir plokštumos Redaguoti

    Geometrijoje liestinė linija (arba paprasčiausiai liestinė) iki plokštumos kreivės tam tikrame taške yra tiesi linija, kuri "tiesiog liečia" kreivę tame taške. Neoficialiai tai linija, einanti per begalybės artimų kreivės taškų porą. Tiksliau sakoma, kad tiesė yra kreivės liestinė y = f(x) taške x = c kreivėje, jei tiesė eina per tašką (c, f(c)) kreivėje ir turi nuolydį f ' (c) kur f yra vedinys f. Panašus apibrėžimas taikomas kosmoso kreivėms ir kreivėms n-dimensinė Euklido erdvė.

    Kai jis eina per liestinės tiesės ir kreivės susitapimo tašką, vadinamą liesties taškas, liestinė tiesė „eina ta pačia kryptimi“ kaip ir kreivė, taigi yra geriausias tiesės tiesinis kreivės priartinimas tame taške.

    Panašiai liestinė plokštuma į paviršių tam tikrame taške yra plokštuma, kuri "tiesiog liečia" paviršių tame taške. Jutiklio sąvoka yra viena iš pagrindinių diferencinės geometrijos sąvokų ir buvo plačiai apibendrinta žr. Tangento erdvė.

    Normali linija ir vektorius Redaguoti

    Geometrijoje a normalus yra objektas, pvz., linija ar vektorius, statmenas tam tikram objektui. Pavyzdžiui, dviejų dimensijų atveju normali linija kreivei tam tikrame taške yra tiesė, statmena taško kreivės liestinės tiesei.

    Trimatėje byloje a paviršius normalusarba paprasčiausiai normalus, į paviršių taške P yra vektorius, statmenas liestinės plokštumai su tuo paviršiumi P. Žodis „normalus“ taip pat vartojamas kaip būdvardis: tiesi plokštumai tiesi linija, normalus jėgos komponentas, normalus vektoriusir tt normalumas apibendrina ortogonalumu.


    Kas yra Thaleso teorema?

    Thales teorema teigia, kad:

    Jei trys taškai A, B ir C yra apskritimo apskritime, o linija AC yra apskritimo skersmuo, tada kampas ABC yra stačiu kampu (90 °).

    Arba mes galime pasakyti Thaleso teoremą kaip:

    Apskritimo skersmuo visada nukreipia stačiu kampu į bet kurį apskritimo tašką.

    Jūs pastebėjote, kad Thaleso teorema yra specialus įrašyto kampo teoremos atvejis (centrinis kampas = dvigubai didesnis už užrašytą kampą).

    Priskiriama Thaleso teorema Thalesas, graikų matematikas ir filosofas, įsikūręs Milete. Talis pirmiausia inicijavo ir suformulavo teorinį geometrijos tyrimą, kad astronomija taptų tikslesniu mokslu.

    Yra keli būdai įrodyti Thaleso teoremą. Norėdami įrodyti šią teoremą, galime naudoti geometrijos ir algebros metodus. Kadangi tai yra geometrijos tema, pažiūrėkime toliau pagrindinį metodą.


    Niu Džersio švietimo departamentas

    Einant link formalių matematinių argumentų, šiame vidurinės mokyklos geometrijos kurse pateikti standartai skirti įforminti ir išplėsti vidurinių klasių geometrinius išgyvenimus. Transformacijos pateikiamos metų pradžioje, siekiant padėti sukurti konceptualų geometrinių sąvokų supratimą.

    Pirmame vienete trikampio sutapimo sąlygos nustatomos naudojant standaus judesio ir formalų konstrukcijų analizę. Įvairūs formatai bus naudojami įrodant teoremas apie kampus, linijas, trikampius ir kitus daugiakampius. Darbas 2 skyriuje remsis studentų supratimu apie išsiplėtimus ir proporcingą samprotavimą, kad formuotųsi formalus panašumo supratimas.

    Į 3 vienetą įtraukti standartai praplečia stačiojo trikampio panašumą ir stačiojo trikampio trigonometrijos supratimą. In developing the Laws of Sines and Cosines, the students are expected to find missing measures of triangles in general, not just right triangles.

    Work in unit 4 will focus on circles and using the rectangular coordinate system to verify geometric properties and to solve geometric problems. Concepts of similarity will be used to establish the relationship among segments on chords, secants and tangents as well as to prove basic theorems about circles.

    The standards in unit 5 will extend previous understandings of two- dimensional objects in order to explain, visualize, and apply geometric concepts to three-dimensional objects. Informal explanations of circumference, area and volume formulas will be analyzed.

    If you do not have the username and password to access assessments please email this address: [email protected]

    Provide the following information in the body of the email:

    The username and password are to be used by educators (teachers, principals, directors of curriculum, district administrative staff, etc.) of New Jersey ONLY. By emailing this address you certify you are an educator in New Jersey.

    Copyright © State of New Jersey, 1996 - 2019

    NJ Department of Education, PO Box 500, Trenton, NJ 08625-0500, (609) 376-3500


    Žiūrėti video įrašą: 13 Polje smjerova, Eulerova metoda (Gruodis 2021).