Straipsniai

1.1: Įvadas į tiesines lygtis


Mokymosi tikslai

  • Koks yra vienas iš erzinančių matematikų įpročių?
  • Kuo skiriasi konstantos ir koeficientai?
  • Ar tiesinės lygties koeficientas gali būti (0 )?

Šią dalį pradėsime išnagrinėję problemą, kurią tikriausiai jau žinote, kaip išspręsti.

Pavyzdys ( PageIndex {1} )

Tarkime, kad indelyje yra raudonos, mėlynos ir žalios spalvos marmuro. Jums sakoma, kad iš viso stiklainyje yra 30 marmurų; raudonų marmurų yra dvigubai daugiau nei žalių; mėlynų marmurų skaičius yra toks pat kaip raudonų ir žalių marmurų suma. Kiek yra kiekvienos spalvos rutuliukų?

Sprendimas

Galėtume pabandyti tai išspręsti bandydami ir per klaidą, ir tikriausiai gautume teisingą atsakymą be per daug darbo. Tačiau tai nebus naudinga išmokti geros technikos, kaip išspręsti didesnes problemas, todėl būkime matematiškesni.

Leiskime (r ) žymėti raudonų rutulių skaičių, o (b ) ir (g ) - atitinkamai mėlynų ir žalių marmurų skaičių. Pateiktus teiginius apie stiklainyje esančius rutuliukus galime panaudoti kurdami lygtis.

Kadangi žinome, kad stiklainyje yra 30 rutuliukų, žinome, kad [ label {eq: rbg30} r + b + g = 30. ] Be to, mums sakoma, kad raudonų marmurų yra dvigubai daugiau nei žalių, taigi žinome, kad [ label {eq: r2g} r = 2g. ] Galiausiai žinome, kad mėlynos spalvos marmuro skaičius yra toks pat kaip raudonos ir žalios spalvos marmuro suma, taigi turime [ label { ekv .: brg} b = r + g. ]

Nuo šio etapo nėra vieno „teisingo“ elgesio būdo. Atvirkščiai, yra daug būdų, kaip naudoti šią informaciją sprendimui rasti. Vienas iš būdų yra sujungti idėjas iš lygčių ( eqref {eq: r2g} ) ir ( eqref {eq: brg} ); ( eqref {eq: brg} ) pakeiskite (r ) į (2g ). Tai suteikia mums [ label {eq: b3g} b = 2g + g = 3g. ] Tada galime sujungti lygtis ( eqref {eq: rbg30} ), ( eqref {eq: r2g} ) ir ( eqref {eq: b3g} ) pakeisdami (r ) ( eqref {eq: rbg30} ) į (2g ), kaip tai darėme anksčiau, ir pakeisdami (b ) (3g ), norėdami gauti [ pradėkite {lygiuoti} r + b + g & = 30 notag 2g + 3g + g & = 30 notag 6g & = 30 notag label {eq: g5} g & = 5 pabaiga {lygiuoti}]

Dabar galime naudoti lygtį ( eqref {eq: g5} ), kad rastume (r ) ir (b ); iš ( eqref {eq: r2g} ) žinome, kad (r = 2g = 10 ), o tada nuo (r + b + g = 30 ), mes lengvai galime rasti, kad (b = 15 ) .

Matematikai dažnai mato pateiktų problemų sprendimus ir klausia „O kas, jei ( ldots )?“ Tai erzinantis įprotis, kurį gerai išsiugdytume - turėtume išmokti galvoti kaip matematikas. Kokių yra tinkamiausių klausimų, o ką daryti, jei užduoti? Štai dar vienas erzinantis matematikų įprotis: jie dažnai užduoda „neteisingus“ klausimus. Tai yra, jie dažnai užduoda klausimus ir pastebi, kad atsakymas nėra ypač įdomus. Tačiau užduodant pakankamai klausimų, dažnai kyla gerų „teisingų“ klausimų. Taigi nebijokite padaryti kažko „ne taip“; mes, matematikai, tai darome nuolat.

Taigi, ką verta užduoti, pamačius pavyzdį ( PageIndex {1} )? Čia yra du galimi klausimai:

  1. Ar tikrai turėjome vadinti raudonus kamuoliukus „ (r )“? Ar galėtume juos pavadinti „ (q )“?

  2. O jei starte turėtume 60 kamuolių, o ne 30?

Pažvelkime į pirmąjį klausimą. Ar pasikeistų mūsų problemos sprendimas, jei pavadintume raudonus kamuoliukus (q )? Žinoma ne. Pabaigoje rasime tą (q = 10 ) ir žinotume, kad tai reiškia, kad mes turime 10 raudonų kamuoliukų.

Dabar pažvelkime į antrąjį klausimą. Tarkime, kad mes turėjome 60 kamuolių, tačiau kiti santykiai liko tie patys. Kaip pasikeistų situacija ir sprendimas? Palyginkime „pradines“ lygtis su „naujomis“ lygtimis.

OriginalasNauja
(r + b + g = 30 ) (r + b + g = 60 )
(r = 2g ) (r = 2g )
(b = r + g ) (b = r + g )

Lentelė ( PageIndex {1} )

Nagrinėdami šias lygtis, matome, kad niekas nepasikeitė, išskyrus pirmąją lygtį. Nėra per daug įsivaizduojama, kad šią naują problemą išspręstume lygiai taip pat, kaip ir pradinę, išskyrus tai, kad turėtume dvigubai daugiau kiekvienos rūšies kamuolių.

Išvada atsakius į šiuos du klausimus yra tokia: nesvarbu, ką mes vadiname savo kintamaisiais, ir, nors lygčių konstantos keičia sprendimą, jie iš tikrųjų nekeičia metodas kaip išspręsime šias lygtis.

Tiesą sakant, tai yra didelis atradimas suvokti, kad viskas, kas mums rūpi, yra konstantos ir koeficientai lygčių. Sistemingai jas tvarkydami, galime labai gražiai išspręsti bet kokias tiesinių lygčių rinkinius. Prieš tęsdami, pirmiausia turime apibrėžti, kas yra tiesinė lygtis.

Apibrėžimas: tiesinė lygtis

A tiesinė lygtis yra lygtis, kurią galima parašyti formatu [a_1x_1 + a_2x_2 + cdots + a_nx_n = c ], kur (x_i ) yra kintamieji (nežinomi), (a_i ) yra koeficientai ir (c ) yra konstanta.
A tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių rinkinys, apimantis tuos pačius kintamuosius.
A sprendimas linijinių lygčių sistemai yra kintamųjų (x_i ) reikšmių rinkinys, tenkinantis kiekvieną sistemos lygtį.

Taigi pavyzdyje ( PageIndex {1} ), kai mes atsakėme „kiek yra kiekvienos spalvos rutuliukų?“, Mes taip pat atsakėme „rasti tam tikros tiesinių lygčių sistemos sprendimą“.

Toliau pateikiami tiesinių lygčių pavyzdžiai:

[ begin {align} begin {aligned} 2x + 3y-7z & = 29 x_1 + frac72x_2 + x_3-x_4 + 17x_5 & = sqrt [3] {- 10} y_1 + 14 ^ 2y_4 + 4 & = y_2 + 13-y_1 sqrt {7} r + pi s + frac {3t} {5} & = cos (45 ^ circ) end {aligned} end {align} ]

Atkreipkite dėmesį, kad koeficientai ir konstantos gali būti trupmenos ir iracionalieji skaičiai (pvz., ( Pi ), ( sqrt [3] {- 10} ) ir ( cos (45 ^ circ) )). Kintamieji pateikiami tik (a_ix_i ) pavidalu; tai yra tik vienas kintamasis padaugintas iš koeficiento. (Atkreipkite dėmesį, kad ( frac {3t} {5} = frac35t ), tik kintamasis, padaugintas iš koeficiento.) Be to, visiškai nesvarbu, kurioje lygties pusėje dedame kintamuosius ir konstantas, nors dažniausiai juos rašome su kintamaisiais kairėje ir konstantomis dešinėje.

Mes nelaikytume, kad aukščiau pateiktas lygčių rinkinys sudaro lygčių sistemą, nes kiekvienoje lygtyje naudojami skirtingai įvardyti kintamieji. Linijinių lygčių sistemos pavyzdys yra [ begin {align} begin {aligned} x_1-x_2 + x_3 + x_4 & = 1 2x_1 + 3x_2 + x_4 & = 25 x_2 + x_3 & = 10 end { sulyginti} end {align} ]

Svarbu pastebėti, kad ne visose lygtyse buvo naudojami visi kintamieji (tiksliau sakyti, kad koeficientai gali būti 0, todėl paskutinė lygtis galėjo būti parašyta kaip (0x_1 + x_2 + x_3 + 0x_4 = 10 ) ). Be to, tai, kad turime keturis nežinomus, dar nereiškia, kad turime turėti keturias lygtis. Galėjome turėti mažiau, net tik vieną, ir galėjome turėti daugiau.

Norėdami geriau pajusti, kas yra tiesinė lygtis, nurodome keletą pavyzdžių, kas yra ne tiesinės lygtys.

[ begin {align} begin {aligned} 2xy + z & = 1 5x ^ 2 + 2y ^ 5 & = 100 frac1x + sqrt {y} + 24z & = 3 sin ^ 2x_1 + cos ^ 2x_2 & = 29 2 ^ {x_1} + ln x_2 & = 13 pabaiga {lygiuota} pabaiga {lygiuoti} ]

Pirmasis pavyzdys nėra tiesinė lygtis, nes kintamieji (x ) ir (y ) yra dauginami kartu. Antroji nėra tiesinė lygtis, nes kintamieji pakeliami iki kitų galių, o ne 1; tai taip pat yra trečiosios lygties problema (atminkite, kad (1 / x = x ^ {- 1} ) ir ( sqrt {x} = x ^ {1/2} ). Mūsų kintamieji negali būti tokios funkcijos argumentas kaip ( sin ), ( cos ) ar ( ln ), taip pat mūsų kintamieji negali būti keliami kaip rodiklis.

Šiame etape mes dar neturėjome aptarti, kaip efektyviai rasti tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Tai yra būsimų skyrių tikslas. Šiuo metu daugiausia dėmesio skiriame tiesinių lygčių nustatymui. Taip pat naudinga „susimokėti“, išsprendžiant kelias lygčių sistemas, naudojant bet kokį mūsų turimą metodą, kad atnaujintume atmintį apie pagrindinį procesą.


Kanzaso valstijos universitetas

Šis vaizdo įrašas apima:
* Žodyno žodžiai: tiesinis, pirmojo laipsnio, lygtis, sprendimas
* Skirtumas tarp išraiškų ir lygčių
* Lygybės savybės
* Linijinių lygčių sprendimo veiksmai, įskaitant bendrą tikslą

Pavyzdžiai:

1.2 Tiesinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Šis vaizdo įrašas apima:
* Atlikdami visus tiesinių lygčių sprendimo etapus
* Išsami informacija apie tai, kaip patikrinti savo sprendimą
* Parodomi keli būdai, kaip išspręsti tiesines lygtis
* Primename, kad netinkamos trupmenos yra geriau nei mišrios ir (arba) dešimtainės trupmenos

Pavyzdžiai:

1.3 Pagrindiniai tiesinių racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžiai

Šis vaizdo įrašas apima:
* Ką reiškia racionalus
* Linijinių lygčių sprendimo žingsnių apžvalga
* Pagrindinių trupinimo operacijų apžvalga
* Sprendimų tikrinimo proceso apžvalga

Pavyzdžiai:

1.4 Išplėstiniai tiesinės racionaliosios lygties sprendimo pavyzdžiai

Šis vaizdo įrašas apima:
* Linijinės racionalios lygties sprendimo žingsnių apžvalga
* Pagrindinių trupinimo operacijų apžvalga

Pavyzdžiai:

1.5 Linijinių racionaliųjų lygčių sprendimas naudojant „Magic Trick“

Šis vaizdo įrašas apima:
* Magiško triuko metodo naudojimo žingsniai
* Peržiūra, kaip rasti skystųjų kristalų ekraną (mažiausiai bendras vardiklis)
* Racionalių lygčių sprendimo veiksmai pašalinant visus trupmenų vardiklius
* Kodėl stebuklingo triuko metodas yra geresnis už trupmenos metodus

Pavyzdžiai:

1.6 Stebuklingo triuko su kintamaisiais naudojimas vardiklyje

Šis vaizdo įrašas apima:
* Apžvalga, kodėl stebuklingo triuko metodas yra geresnis už trupmenos metodus
* Kodėl turite patikrinti atsakymus, jei vardiklyje yra kintamųjų
* Stebuklingo triuko naudojimo žingsnių apžvalga
* Apžvalga, kaip atimimas tarp trupmenų veikia kitaip nei pridėjimas
* Kaip tvarkyti daugiau nei vieną terminą atskiruose vardikliuose
* Kas nutiks, kai jūsų sprendimas nebus tinkamai patikrintas
* Skirtumas tarp jokio sprendimo ir neapibrėžto

Pavyzdžiai:

1.7 Stebuklingo triuko naudojimas su daugianariais vardiklyje

Šis vaizdo įrašas apima:
* Kaip vardiklyje esantys daugianariai pabrėžia pirmąjį faktoringo žingsnį
* Stebuklingo triuko naudojimo žingsnių apžvalga
* Apžvalga, kaip atimimas tarp trupmenų veikia kitaip nei pridėjimas
* Kaip tvarkyti daugiau nei vieną terminą atskiruose vardikliuose

Pavyzdžiai:


Sprendimas

Kurie iš pateiktų taškų yra tiesėje $ y = 2x + 1 $, galime sužinoti pamatę, ar $ x $ ir $ y $ koordinatės tenkina lygtį. Pirmajam taškui matome, kai $ y = 1 $ ir $ x = 0 $

kas yra tiesa, taigi taškas $ (0,1) $ yra tiesėje. Tačiau turėdami $ (2, -1) $, pakeisdami $ x = 2 $ ir $ y = -1 $

ir todėl $ (2, -1) $ nėra tiesėje.

Taip tęsdami matome, kad $ (0,1), (2,5), (1 / 2,2) $ ir $ (- 1, -1) $ yra taškai tiesėje ir $ (2, - 1) $ ir $ (. 5,1) $ nėra taškai tiesėje.

Mes galime rasti dar tris taškus, savavališkai pasirinkę $ x $ vertę ir naudodami tiesės lygtį, kad rastume atitinkamas $ y $ reikšmes: $ (- 2, -3), (1, 3), (-1/2 , 0) $.

Pasirinkę savavališkas $ x $ reikšmes, tokias kaip $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ x = 2 $, $ x = -1 $ ir $ x = -2 $, randame atitinkamas $ y $ reikšmes ir turi keletą taškų, esančių funkcijos grafike:

Nubraižę šiuos taškus, pasiekiame šį grafiką:

Linijinė funkcija gali būti parašyta forma $ y = mx + b $, ir tai lygtis nerašoma tokia forma. Mums gali kilti klausimas, ar tai būtų galima parašyti tokia forma, naudojant kokį nors gudrų triuką, apie kurį dar negalvojome. Jei tai būtų tiesinė funkcija, jos grafikas būtų tiesi linija. $ Y = 2x ^ 2 + 1 $ grafike yra aukščiau išvardyti penki taškai, ir šie penki taškai nėra tiesėje. Taigi tai nėra tiesinė funkcija.

Žemiau pateikiamas šių dviejų funkcijų skirtumų sąrašas. Galimi atsakymai gali apimti keletą, visus ar daugiau skirtumų.

  • Pirmasis grafikas yra tiesi linija, antrasis - kreivas.
  • $ X $ terminas yra kvadratas antroje funkcijoje, o ne pirmoje.
  • Pirmoji funkcija turi neigiamas ir teigiamas $ y $ reikšmes, o antroji funkcija niekada neturės neigiamų $ y $ verčių.
  • Kai $ x $ didėja vienodomis sumomis, pirmosios funkcijos $ y $ vertės taip pat didėja vienodomis sumomis (pokyčių greitis yra pastovus), tačiau antrosios funkcijos $ y $ vertės didėja vis didesnėmis sumomis (pokyčių greitis) didėja), kai $ | x | $ didėja.
  • Pirmoji funkcija turi pastovų nuolydį (statumą). Keičiasi antrosios funkcijos statumas.
  • Antroji funkcija yra simetriška $ y $ ašiai, o pirmoji - ne.
  • Pirmoji funkcija kerta $ x $ ašį (esant $ (- 1 / 2,0) $), o antroji funkcija niekada neperžengia $ x $ ašies.
  • Kiekviena pirmosios funkcijos $ y $ vertė turi tiksliai vieną $ x $ vertę. Antrojoje funkcijoje daugumoje $ y $ reikšmių yra 2 galimos $ x $ vertės (pavyzdžiui: $ (- 2,9) $ ir $ (2,9) $ yra antrajame grafike).

Axiomagick

1.1 Įvadas į tiesinių lygčių sistemas 2012-03-23

Šiame skyriuje apibrėžiamos tiesinės lygtys, tiesinių lygčių sistemos, kaip jas pavaizduoti naudojant matricas ir kaip naudoti elementarias eilučių operacijas matricoje, norint rasti sprendimą, nustatytą atitinkamai lygčių sistemai.

Yra 13 pratimų, aš darau skaičių 8 ir skaičių 10.

8
Apsvarstykite lygčių sistemą

Parodykite, kad ši sistema būtų nuosekli, konstantos ir turi tenkinti.

Sistema yra nuosekli, jei ji turi bent vieną sprendimą. Vieną lygtį galime pridėti prie kitos, nekeisdami sistemos sprendinių rinkinio, todėl leiskite tai išbandyti. Pridėjus pirmąją lygtį prie antrosios gaunami

Kairioji šios lygties pusė yra identiška trečiosios lygties pusei. Tai reiškia, kad egzistuojant sprendimui, kuris išspręstų abi lygtis, jų dešinioji pusė turi būti lygi, o tai reiškia.

10

Kuriai konstantos reikšmei (vertėms) daro sistema

neturi sprendimų? Tiksliai vienas sprendimas? Be galo daug sprendimų? Paaiškinkite savo samprotavimus.

Pirmiausia padauginkite pirmąją lygtį iš 2. Tai nepakeičia sistemos sprendinių rinkinio. Dabar abiejų lygčių kairės pusės yra lygios, ir nesunku pastebėti, kad sistema turi be galo daug sprendimų, jei (nes tada lygtys yra lygios), ir jokių sprendimų, jei (nes tai reiškia). Nėra jokios vertės, kuri suteiks tiksliai vieną sprendimą.


3 pavyzdys

Kokie yra nepriklausomi ir priklausomi kintamieji? Kas yra y-interceptas ir koks nuolydis? Aiškinkite juos naudodami ištisus sakinius.

Nepriklausomas kintamasis (x) yra Svetlana kuratorių valandų skaičius kiekvienoje sesijoje.

Priklausomas kintamasis (y) yra suma, kurią doleriais uždirba Svetlana už kiekvieną sesiją.

y-interceptas yra 25 (a = 25).
Mokymo sesijos pradžioje Svetlana ima vienkartinį 25 USD mokestį (tai yra x = 0).

Nuolydis yra 15 (b = 15).
Už kiekvieną sesiją Svetlana uždirba 15 USD už kiekvieną auklėtojų valandą.

Pabandyk tai

Etanas taiso buitinius prietaisus, tokius kaip indaploves ir šaldytuvus. Už kiekvieną apsilankymą jis ima 25 USD plius 20 USD už valandą darbo. Linijinė lygtis, išreiškianti bendrą pinigų sumą, kurią Etanas uždirba už apsilankymą y = 25 + 20x.

Kokie yra nepriklausomi ir priklausomi kintamieji? Kas yra y-interceptas ir koks nuolydis? Aiškinkite juos naudodami ištisus sakinius.

Nepriklausomas kintamasis (x) yra valandų skaičius, kurį Ethanas dirba kiekvieną apsilankymą.

Priklausomas kintamasis (y) yra suma, kurią doleris gauna Etanas už kiekvieną apsilankymą.

Y perėmimas yra 25 (a = 25).
Vizito pradžioje Ethanas ima vienkartinį 25 USD mokestį (tai yra tada, kai x = 0).

Nuolydis yra 20 (b = 20).
Už kiekvieną apsilankymą Etanas uždirba 20 USD už kiekvieną darbo valandą.


1.1: Įvadas į tiesines lygtis

Jūs ruošiatės ištrinti savo darbą apie šią veiklą. Ar tikrai norite tai padaryti?

Galima atnaujinta versija

Ten yra atnaujinta versija šios veiklos. Jei atnaujinsite naujausią šios veiklos versiją, dabartinė šios veiklos eiga bus ištrinta. Nepaisant to, jūsų baigimo įrašas išliks. Kaip norėtumėte elgtis toliau?

Matematinės išraiškos redaktorius

Sprendžiame dviejų ir trijų kintamųjų lygčių sistemas ir rezultatus interpretuojame geometriškai.

SYS-0010: Įvadas į tiesinių lygčių sistemas

Jūs tikrai daug metų tyrinėjote tiesines lygtis. Galbūt paprasčiausias būdas apibūdinti tiesines lygtis yra tai, kad tai yra daugianario lygtys, kuriose kiekvienas terminas yra arba konstanta, arba turi 1 laipsnį.

Tupelis yra a sprendimas prie lygties su sąlyga, kad ji lygtį paverčia tikru teiginiu. Visų pavyzdžių, kurie yra tam tikros lygties sprendiniai, rinkinys vadinamas grafikas lygties. Dviejų kintamųjų tiesinės lygties grafikas yra linija. Trijų kintamųjų tiesinės lygties grafikas yra plokštuma. Mes sakome, kad tiesinės lygties grafikas yra a hiper plokštuma. Hiperlėktuvas negali būti vizualizuojamas, bet mes vis tiek galime kalbėti apie hiperlėktuvų ir kitų jų atributų sankirtas algebriniais terminais.

Linijinėje algebroje dažnai ieškome sprendimų tiesinių lygčių sistemos arba linijinės sistemos. Linijinė lygčių ir nežinomųjų sistema paprastai rašoma taip

A sistemos sprendimas tiesinių kintamųjų lygčių yra -tupelis, tenkinantis visas sistemos lygtis. Visi lygčių sistemos sprendiniai kartu paėmus sudaro a sprendimo rinkinys. Mes sutelksime dėmesį į algebrinius metodus ieškodami sprendimų rinkinių, tačiau taip pat atsižvelgsime į geometrinį sistemų aspektą, kad gautume papildomų įžvalgų.

Linijinių sistemų algebra

Tikriausiai esate susipažinę su dviem algebriniais metodais, sprendžiant tiesinių lygčių sistemas. Vienas metodas reikalauja, kad išspręstume vieną kintamąjį kito (-ų) atžvilgiu, tada pakeistume. Antrasis metodas apima vienos lygties kartotinių pridėjimą prie kitos lygties, siekiant pašalinti vieną iš kintamųjų. Antrasis metodas sudarys pagrindą algoritmui, kurį sukursime tiesinėms sistemoms spręsti ir kitiems su sistemomis susijusiems skaičiavimams atlikti. Tyrimo problema init: systwoeqs1 parodo, kaip veikia antrasis metodas.

Galiausiai galime perjungti lygčių tvarką, kad būtų rodoma viršutinėje eilutėje. Tai mums duoda

Šis sprendimas gali būti parašytas kaip sutvarkyta pora.

Norėdami gauti „Exploration Problem Init“ sprendimą: systwoeqs1, panaudojome tris elementarių eilučių operacijos. Šios operacijos yra:

  • Dviejų lygčių eilės keitimas
  • Padauginus abi lygties puses iš tos pačios nulio konstantos
  • Vienos lygties kartotinio pridėjimas prie kitos

Kiekviename proceso etape lygčių sistema atrodė kitaip nei pradinė sistema, tačiau greitas patikrinimas įtikins jus, kad visos šešios sistemos turi tą patį sprendimą:. Sakoma, kad sistemos (eq: step1) - (eq: step6) lygiavertis.

Pasirodo, jei lygčių sistema bus transformuota į kitą sistemą per elementarių eilučių operacijų seką, naujoji sistema bus tolygi pradinei sistemai, kitaip tariant, abiejų sistemų rinkinys bus tas pats. Šį teiginį įforminsime paskutiniame šio modulio skyriuje.

  • Eilutės ir eilutės perjungimas:
  • Padauginus abi lygties puses iš tos pačios nulio konstantos ir pakeičiant lygtį rezultatu:
  • Pridedant eilutę prie eilutės kartus ir pakeičiant eilutę rezultatu:

Tai atliksime naudodami patogų kintamąjį vienoje eilėje, kad „ištrintume“ šį kintamąjį iš kitų dviejų eilučių. Pavyzdžiui, trečioje lygtyje galime išnaikinti pirmąją ir antrąją lygtis. Norėdami tai padaryti, padauginkite trečią eilutę ir pridėkite ją prie viršutinės eilės, tada padauginkite trečią eilutę ir pridėkite ją prie antros eilutės. Dabar mes turime: Ankstesniame etape buvo patogus naudoti kintamasis, nes koeficientas priešais buvo 1. Mes nebeturime kintamojo su koeficientu 1. Galėtume sukurti koeficientą 1 naudodami padalijimą, bet tai sukeltų trupmenas, todėl skaičiavimai yra sudėtingi. Vietoj to du kartus atimsime antrą eilutę iš pirmos eilutės. Tai mums suteikia:

Toliau septynis kartus pridedame pirmąją eilutę į antrąją eilę ir keturis kartus atimame pirmąją eilutę iš trečiosios eilutės.

Dabar mes padalijame abi antrosios eilės puses.

Pridėjus antrą eilutę prie pirmos eilutės ir atėmus antrosios eilutės kartus iš trečios eilutės, gauname

Galiausiai, pertvarkę eilutes, gauname

Taigi sistema turi unikalų sprendimą.

Šiuo metu jums gali kilti klausimas, ar visada bus įmanoma paimti trijų lygčių ir trijų nežinomų sistemų sistemą ir naudoti elementarias eilučių operacijas, kad paverstumėte ją formos forma. Trumpas atsakymas į šį klausimą yra ne. Tokios formos ekvivalentiškos sistemos egzistavimas reiškia, kad pirminė sistema turi unikalų sprendimą. Tačiau įmanoma, kad sistema neturi sprendimų arba turi be galo daug sprendimų. Mes nagrinėsime šias skirtingas galimybes iš algebrinės perspektyvos kituose moduliuose. Kol kas bandysime įgyti supratimą apie sprendimų egzistavimą ir unikalumą pasitelkdami geometriją.

Linijinių sistemų geometrija dviem kintamaisiais

Tyrimo problema init: systwoeqs1 pateikia dviejų lygčių ir dviejų nežinomų linijinės sistemos pavyzdį su unikaliu sprendimu.

Geometriniu požiūriu kiekvienos lygties grafikas yra tiesė. Taškas yra abiejų lygčių sprendimas, todėl jis turi gulėti ant abiejų tiesių. Žemiau pateiktame grafike parodytos dvi tiesės, kertančios.

Atsižvelgiant į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą, yra trys galimi geometriniai rezultatai. Pirma, taške susikerta dviejų lygčių grafikai. Tokiu atveju sistema turi tiksliai vieną sprendimą. Mes sakome, kad sistema yra nuoseklus ir turi a unikalus sprendimas.

Antra, abi eilutės gali neturėti bendrų taškų. Tokiu atveju sistema neturi sprendimų. Mes sakome, kad sistema yra nenuoseklus.

Galiausiai abi eilutės gali sutapti. Šiuo atveju yra be galo daug taškų, kurie vienu metu tenkina abi lygtis. Mes sakome, kad sistema yra nuosekli ir turi be galo daug sprendimų.

Skirtingai nuo situacijos pavyzdyje ex: systwoeqs2, yra antrosios lygties reikšmės ir jos tenkina. Tiesą sakant, bet kuri sutvarkyta pora, kuri tenkina pirmąją lygtį, patenkins antrąją lygtį. Taigi šios sistemos sprendinių rinkinys yra tas pats, kaip ir visų.

Kai suskaičiuojame dvi pirminės sistemos lygtis, pastebime, kad abi tiesės sutampa.

Turėdami linijinę sistemą dviem kintamaisiais ir daugiau nei dviem lygtimis, turime daugybę geometrinių galimybių. Trys iš jų pavaizduoti žemiau. Pirma, visų sistemos lygčių grafikai gali susikirsti viename taške, suteikdami mums unikalų sprendimą.

Antra, įmanoma, kad grafikai neturėtų bendrų taškų.

Tokiu atveju sistema yra nenuosekli.

Trijų kintamųjų linijinių sistemų geometrija

Pavyzdyje ex: threeeqthreevars1 mes išsprendėme šią trijų lygčių ir trijų nežinomų linijinę sistemą. Mes nustatėme, kad sistema turi unikalų sprendimą. Kiekvienos lygties grafikas yra plokštuma. Trys plokštumos susikerta viename taške, kaip parodyta paveikslėlyje.

Atsižvelgiant į linijinę trijų lygčių ir trijų kintamųjų sistemą, sistema gali būti nuosekli dviem būdais. Pirma, trys lėktuvai galėjo susikirsti viename taške, suteikdami mums unikalų sprendimą.

Antra, trys lėktuvai gali susikirsti vienoje linijoje, formuodami irklo rato formą. Šiuo atveju kiekvienas taškas išilgai sankirtos yra sistemos sprendimas, suteikiantis mums be galo daug sprendimų.

Galiausiai trys lėktuvai gali sutapti. Jei taip yra, sprendimų yra be galo daug.

Yra keturi sistemos nenuoseklumo būdai. Jie pavaizduoti žemiau.

Ekvivalentiškos sistemos ir elementarių eilučių operacijos

„Exploration Problem init: systwoeqs1“ pristatėme pradines eilučių operacijas ir lygiavertes sistemas. Dabar mes darome šiuos apibrėžimus oficialius.

Nesunku suprasti, kad atlikus elementarų eilučių operacijų seką lygčių sistemoje gaunama lygiavertė sistema. Tai galime pateisinti atsižvelgdami į eilučių operacijas po vieną. Akivaizdu, kad lygčių tvarka žemyn neturi įtakos sprendinių rinkiniui, todėl item: rowswap sukuria lygiavertę sistemą. Be to, jūs jau daugelį metų sužinojote, kad padauginus abi lygties puses iš ne nulio konstantos, jos sprendinių rinkinys nekeičiamas, kuris nustato tą elementą: „konstanta daug“ sukuria lygiavertę sistemą. Taip pat tiesa, kad punktas: addrow sukuria lygiavertę sistemą. Norėdami tai pamatyti, atkreipkite dėmesį, kad lygties kartotinis vis tiek yra lygtis, taigi, jei prie kitos sistemos lygties pridėsime lygties daugiklį, abiem pusėms pridedame tą patį, kas nekeičia sprendinių rinkinio tos lygties, nei sistemos.


Pats pagrindinis asociacijos tipas yra tiesinė asociacija. Šio tipo ryšius galima apibrėžti algebriniu būdu pagal naudojamas lygtis, skaitinę su faktinėmis ar numatomomis duomenų reikšmėmis arba grafiškai iš nubraižytos kreivės. (Linijos klasifikuojamos kaip tiesios kreivės.) Algebrine prasme linijinė lygtis paprastai būna forma y = mx + b, kur m ir b yra konstantos, x yra nepriklausomas kintamasis, y yra priklausomas kintamasis. Statistiniame kontekste linijinė lygtis užrašoma forma y = a + bx, kur air b yra konstantos. Ši forma naudojama padėti skaitytojams atskirti statistinį kontekstą nuo algebrinio konteksto. Lygtyje y = a + bx, pastovioji b kad padaugina x kintamasis (b vadinamas koeficientu) vadinamas nuolydis. Nuolydis apibūdina pokyčių greitį tarp nepriklausomų ir priklausomų kintamųjų, kitaip tariant, pokyčių greitis apibūdina pokyčius, atsirandančius priklausomame kintamajame, kai keičiamas nepriklausomas kintamasis. Lygtyje y = a + bx, pastovioji a vadinama y-interceptas. Grafiškai, y-interceptas yra y taško, kuriame tiesės grafikas kerta, koordinatė y ašis. Šiuo atveju x = 0.

linijos nuolydis yra reikšmė, apibūdinanti pokyčių greitį tarp nepriklausomų ir priklausomų kintamųjų. nuolydis pasakoja, kaip priklausomas kintamasis (y) pokyčiai kiekvienam padidėjus nepriklausomam (x) kintamasis, vidutiniškai. y-interceptas yra naudojamas apibūdinti priklausomą kintamąjį, kai nepriklausomas kintamasis lygus nuliui. Grafiškai elementarioje statistikoje nuolydis vaizduojamas trimis linijų tipais.


Tiesinių lygčių sprendimo metodai

Jamalas H. Abou-Kassemas,. M. Rafiq Islam, „Naftos rezervuarų modeliavimas“, 2006 m

9.2.3 2D ir 3D srauto problemos (retos matricos)

Linijines 2D ir 3D srauto problemų lygtis galima gauti (1) parašius srauto lygtį naudojant CVFD metodą, (2) parašius aibės definition apibrėžimą n už bloką n 2D arba 3D formatu, naudojant blokų identifikavimo inžinerinį užrašą 3-1 pav., o natūraliam blokų išdėstymui - 3-3 paveikslą, kaip paaiškinta 3.2.1 ir 3.2.2 skirsniuose, ir rinkinio definition apibrėžimą.n už bloką nir (3) srauto lygties rašymas išplėstine forma. Pavyzdžiui, mes naudojame Eq. 8.1 1 žingsnyje - nesuspaudžiamo skysčio 3D srautas, gaunamas

Jei rezervuaras neturi srauto ribų (ξn = <> ir dėl to Σ l ∈ ξ n q s c l, n = 0 visoms reikšmėms n) ir jei šuliniuose yra nurodyti srauto greičiai, Eq. 9.40 galima pertvarkyti kaip

2 žingsnyje mes apibrėžiame bloką n kaip blokas 3D erdvėje [n ≡ (i, j, k)]. Atitinkamai ψn yra pateiktas kaip 3-3c paveiksle,

su sąlyga, kad rezervuaro blokai yra užsakomi natūraliu būdu, o blokai užsakomi i kryptis, j kryptis ir galiausiai k kryptis. Dabar ekv. 9.41 ir naujas definition apibrėžimasn duota ekv. 9.42 pateikite ieškomą lygtį.

3 žingsnyje išplėsime Eq. 9.41 kaip

Nežinomas slėgis ekv. 9.43 yra pertvarkyti taip, kaip parodyta 9-2 paveiksle, taip gaunant

9-2 pav. Kaimyninių blokų nežinomybių išdėstymas srauto lygtyse.

Eq. 9.44 yra nesuspausto skysčio 3D srauto tiesinė lygtis. Nežinomi šioje lygtyje yra p n - n x n y, p n - n x, p n - 1, p n, p n + 1, p n + n x ir p n + n x n y, Eq. 9.44 galima išreikšti kaip

Jei ekv. Kiekvienam blokui parašyta 9.45 n = 1, 2, 3…, N kur N = nx × ny × nz stačiakampio formos rezervuare matricos lygtis turės septynias įstrižas (heptadiagonalio koeficiento matricą), kaip parodyta 9-3c paveiksle. Skysčio srautas 2D rezervuare (bn = an = 0) su taisyklingomis ribomis gaunama matricos lygtis su penkiomis įstrižomis (penkiakampio koeficiento matrica), kaip parodyta 9-3b paveiksle. Skysčio srautas 1D talpykloje (bn = sn = nn = an = 0) gaunama matricos lygtis su trimis įstrižainėmis (tridiagonalių koeficientų matrica), kaip parodyta 9-3a paveiksle.

9-3 pav. Koeficiento matricos 1D, 2D ir 3D srauto uždaviniuose.

Šių matricos lygčių sprendimus galima gauti naudojant g juostos matricos tirpiklį. Toks sprendėjas yra ne kas kita, kaip Gauso pašalinimas LU faktorizavimas, kuris veikia tik retosios matricos atokiausiose juostose esančius elementus. Nuliniai, esantys už atokiausių juostų, neveikia. Eilių (arba stulpelių) elementų skaičius atokiausiose juostose vadinamas pralaidumu (2bw + 1), kur bw = 1 1D srauto problemoms spręsti, bw = nx 2D srauto problemoms spręsti ir bw = nx × ny 3D srauto problemoms spręsti, kaip parodyta 9-3 paveiksle. Šis algoritmas yra g juostos algoritmas. G juostos algoritmas vykdomas trimis pagrindiniais etapais: inicializavimo, pirmyn pašalinimo ir atgalinio pakeitimo etapais.

FORTRAN kompiuterio kodai, kurie naudoja šį algoritmą, yra literatūroje (Aziz ir Settari 1979, Abou-Kassem ir Ertekin 1992). Tokioms programoms reikalingi matricos elementai, esantys vektoriuje (eilėje matricoje), eilės tvarka saugomi atokiausiose juostose.


Seminaro informacija

1 skyrius. Įvadas, fonas ir daugybinė regresija
1.1 Įvadas
1.2 Trumpas matricos algebros įvadas
1.3 Linijinė regresija kaip struktūrinės lygties modelis
1.4 Daugybinės regresijos modelio apribojimai

2 skyrius. Kelio analizė: įvadas
2.1 Kelio analizės modelis
2.2 Modelio identifikavimas
2.3 Modelio įvertinimas

3 skyrius. Kelio analizė: išplėstinės temos
3.1 Modelio tinkamumo įvertinimas
3.2 Modelių palyginimai
3.3 Modelio specifikacijos ir modifikavimo indeksai
3.4 Tiesioginio ir netiesioginio poveikio testavimas
3.5 prielaidos (savarankiškas tyrimas)

4 skyrius. Patvirtinanti faktoriaus analizė
4.1 Patvirtinamoji faktoriaus analizė
4.2 Klausimai ir pratęsimai (savarankiškas tyrimas)

5 skyrius. Struktūrinių lygčių modeliai su latentiniais kintamaisiais
5.1 Struktūrinių lygčių modelių įvadas
5.2. Struktūrinių lygčių modelių pritaikymas ir vertinimas
5.3 Papildomos aplinkybės: Įvertinimas nenormaliais paskirstymais, skaičiavimo galia ir lygiaverčiais modeliais (savarankiškas tyrimas)

Šis seminaras plačiai skirtas elgesio, sveikatos, edukacinių ir psichologinių mokslų tyrimams, nors metodai taikomi ir daugeliui kitų disciplinų. Dalyviams rekomenduojame turėti žinių apie bendrą regresijos modelį. Tie, kuriems reikia atnaujinimo, gali norėti peržiūrėti „YouTube“ linijinės regresijos grojaraščio epizodus.

Tiesioginės programinės įrangos demonstracijos bus teikiamos kiekvienos dienos pabaigoje R, o iš anksto įrašytos demonstracijos „Stata“ ir „Mplus“ bus skelbiamos kiekvieną dieną. Atkreipkite dėmesį, kad R galima atsisiųsti nemokamai. Nors naudinga šiek tiek susipažinti su R, tai nėra būtina. Paskaitos, kurios sudaro didžiąją seminaro dalį, nepriklauso nuo programinės įrangos

Mūsų motyvuojantis tikslas yra suteikti intensyvią, tačiau malonią mokymo patirtį. Mes stengiamės rasti vienodą pusiausvyrą tarp pagrindinių statistinio modelio koncepcijų, taip pat praktinių struktūrinių lygčių modelių, pritaikytų realiems empiriniams duomenims, taikymo ir aiškinimo. Mūsų seminaras yra skirtas suteikti dalyviams medžiagą ir instrukcijas, reikalingas norint suprasti faktinius struktūrinių lygčių modelius ir sugebėti apgalvotai pritaikyti šiuos modelius savo duomenims.

Danas Baueris ir Patrickas Curranas visą dieną dėsto seminarą ir pakaitomis dėsto paskaitas. Pateikiame kurso užrašų PDF rinkmeną ir PDF su išsamiais programinės įrangos pavyzdžiais, taip pat duomenis ir kodą visiems pavyzdžiams. PDF failai neribojami ir gali būti saugomi neribotą laiką, tačiau neturėtų būti platinami kitiems negavus išankstinio leidimo.

Žiūrėkite mūsų 5 dienų SEM seminaro paskaitos užrašų ir R pastabų pavyzdžius.

„Livestream“ paskaitos prasidės 9:00 ir baigsis 16:00. Rytų laiku (JAV) kiekvieną dieną. Po paskaitų kompiuterinės demonstracijos R bus teikiamos nuo 16:00 iki 17:00. Rytų laiku (JAV). There will be 15 minute morning and afternoon breaks and a one-hour lunch break, the exact times of which are determined during the lecture. Local time zones within which the participant is connected must be adjusted to correspond to Eastern Time (US).

Participants can ask text-based questions using a Zoom function that will be monitored by CenterStat staff and conveyed to the instructor. If a question cannot be answered during the lecture, a text response will be provided at a later time.

Because participants are receiving the Livestream from Zoom and not broadcasting video images back, the connectivity requirements are minimal. A minimum of 150kbps (kilobytes per second) is required to participate in a video webinar, and this can be wired or wireless. Given typical home internet connections or personal WiFi access, these requirements are quite low. For example, it is recommended that a 3000kbps (or 3mbps, megabytes per second) connection be used to stream a movie on Netflix. A typical WiFi hotspot on a typical cell phone is 20-30mbps, thus any standard internet connection should allow for uninterrupted participation in the webinar. See https://www.speedtest.net/ to evaluate your own connection speed. Note that a typical source of connectivity problems in the home is linking the device to the WiFi broadcast unit, so be certain your device is has uninterrupted lines of site to the wireless modem see, e.g., https://www.familyhandyman.com/smart-homeowner/9-simple-tips-for-faster-wi-fi/

The Livestream does not have DVR-like controls and thus cannot be paused or rewound during the session itself. However, full recordings of Livestream workshops will be available to rewatch for 14 days following the completion of the workshop.

The recordings cannot be saved by the participant and will not be available after the fourteen day period. You can log in to your account to access these recordings. The recordings cannot be downloaded by the participant and will not be available after access has expired.

CenterStat by Curran-Bauer Analytics is not able to provide technical support for end-user issues with the Livestream. As such, participants are fully responsible for connectivity that supports the Livestream of audio and video. Information will be provided about the minimum required bandwidth and methods for testing connectivity. However, in the low probability that a participant is not able to connect, there will be access to the recorded sessions for 6 months following the completion of the workshop. If you need assistance accessing recordings or with your CenterStat account, please contact support.


Differential Equations and Linear Algebra, 1.1: Overview of Differential Equations

Linear equations include dy/dt = y, dy/dt = –y, dy/dt = 2ty. The equation dy/dt = y*y is nonlinear.

GERAI. Well, the idea of this first video is to tell you what's coming, to give a kind of outline of what is reasonable to learn about ordinary differential equations. And a big part of the series will be videos on first order equations and videos on second order equations. Those are the ones you see most in applications. And those are the ones you can understand and solve, when you're fortunate.

So first order equations means first derivatives come into the equation. So that's a nice equation that we will solve, we'll spend a lot of time on. The derivative is-- that's the rate of change of y-- the changes in the unknown y-- as time goes forward are partly from depending on the solution itself. That's the idea of a differential equation, that it connects the changes with the function y as it is.

And then you have inputs called q of t, which produce their own change. They go into the system. They become part of y. And they grow, decay, oscillate, whatever y of t does. So that is a linear equation with a right-hand side, with an input, a forcing term.

And here is a nonlinear equation. The derivative of y. The slope depends on y. So it's a differential equation. But f of y could be y squared over y cubed or the sine of y or the exponential of y. So it could be not linear. Linear means that we see y by itself. Here we won't. Well, we'll come pretty close to getting a solution, because it's a first order equation. And the most general first order equation, the function would depend on t and y. The input would change with time. Here, the input depends only on the current value of y.

I might think of y as money in a bank, growing, decaying, oscillating. Or I might think of y as the distance on a spring. Lots of applications coming.

GERAI. So those are first order equations. And second order have second derivatives. The second derivative is the acceleration. It tells you about the bending of the curve.

If I have a graph, the first derivative we know gives the slope of the graph. Is it going up? Is it going down? Is it a maximum?

The second derivative tells you the bending of the graph. How it goes away from a straight line. So and that's acceleration. So Newton's law-- the physics we all live with-- would be acceleration is some force. And there is a force that depends, again, linearly-- that's a keyword-- on y. Just y to the first power.

And here is a little bit more general equation. In Newton's law, the acceleration is multiplied by the mass. So this includes a physical constant here, the mass.

Then there could be some damping. If I have motion, there may be friction slowing it down. That depends on the first derivative, the velocity.

And then there could be the same kind of forced term that depends on y itself. And there could be some outside force, some person or machine that's creating movement. An external forcing term.

So that's a big equation. And let me just say, at this point, we let things be nonlinear. And we had a pretty good chance. If we get these to be non-linear, the chance at second order has dropped. And the further we go, the more we need linearity and maybe even constant coefficients. m, b, and k. So that's really the problem that we can solve as we get good at it is a linear equation-- second order, let's say-- with constant coefficients. But that's pretty much pushing what we can hope to do explicitly and really understand the solution, because so linear with constant coefficients. Pakartok. That's the good equations.

And I think of solutions in two ways. If I have a really nice function like a exponential. Exponentials are the great functions of differential equations, the great functions in this series. You'll see them over and over. Exponentials. Say f of t equals-- e to the t. Or e to the omega t. Or e to the i omega t. That i is the square root of minus 1.

In those cases, we will get a similarly nice function for the solution. Those are the best. We get a function that we know like exponentials. And we get solutions that we know.

Second best are we get some function we don't especially know. In that case, the solution probably involves an integral of f, or two integrals of f. We have a formula for it. That formula includes an integration that we would have to do, either look it up or do it numerically.

And then when we get to completely non-linear functions, or we have varying coefficients, then we're going to go numerically. So really, the wide, wide part of the subject ends up as numerical solutions. But you've got a whole bunch of videos coming that have nice functions and nice solutions.

GERAI. So that's first order and second order. Now there's more, because a system doesn't usually consist of just a single resistor or a single spring. In reality, we have many equations. And we need to deal with those.

So y is now a vector. y1, y2, to yn. n different unknowns. n different equations. That's n equation. So here that is an n by n matrix. So it's first order. Constant coefficient. So we'll be able to get somewhere. But it's a system of n coupled equations.

And so is this one with a second derivative. Second derivative of the solution. But again, y1 to yn. And we have a matrix, usually a symmetric matrix there, we hope, multiplying y.

So again, linear. Constant coefficients. But several equations at once. And that will bring in the idea of eigenvalues and eigenvectors. Eigenvalues and eigenvectors is a key bit of linear algebra that makes these problems simple, because it turns this coupled problem into n uncoupled problems. n first order equations that we can solve separately. Or n second order equations that we can solve separately. That's the goal with matrices is to uncouple them.

GERAI. And then really the big reality of this subject is that solutions are found numerically and very efficiently. And there's a lot to learn about that, a lot to learn. And MATLAB is a first-class package that gives you numerical solutions with many options.

One of the options may be the favorite. ODE for ordinary differential equations 4 5. And that is numbers 4, 5. Well, Cleve Moler, who wrote the package MATLAB, is going to create a series of parallel videos explaining the steps toward numerical solution.

Those steps begin with a very simple method. Maybe I'll put the creator's name down. Euler. So you can know that because Euler was centuries ago, he didn't have a computer. But he had a simple way of approximating. So Euler might be ODE 1. And now we've left Euler behind. Euler is fine, but not sufficiently accurate.

ODE 45, that 4 and 5 indicate a much higher accuracy, much more flexibility in that package. So starting with Euler, Cleve Moler will explain several steps that reach a really workhorse package.

So that's a parallel series where you'll see the codes. This will be a chalk and blackboard series, where I'll find solutions in exponential form. And if I can, I would like to conclude the series by reaching partial differential equations.

So I'll just write some partial differential equations here, so you know what they mean. And that's a goal which I hope to reach.

So one partial differential equation would be du dt-- you see partial derivatives-- is second derivative. So I have two variables now. Time, which I always have. And here is x in the space direction. That's called the heat equation. That's a very important constant coefficient, partial differential equation.

So PDE, as distinct from ODE. And so I write down one more. The second derivative of u is the same right-hand side second derivative in the x direction. That would be called the wave equation.

So this is like the first order equation in time. It's like a big system. In fact, it's like an infinite size system of equations. First order in time. Or second order in time. Heat equation. Wave equation.

And I would like to also include a the Laplace equation. Well, if we get there. So those are goals for the end of the series that go beyond some courses in ODEs. But the main goal here is to give you the standard clear picture of the basic differential equations that we can solve and understand.


Žiūrėti video įrašą: Tiesinė lygtis (Gruodis 2021).